В.В.Калашников, Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко
ЗВЕЗДЫ ЗОДИАКА
Первоисточник - "Астрономический анализ хронологии. Альмагест. Зодиаки", 2000 г.

Глава 7
ДАТИРОВКА ЗВЕЗДНОГО КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА. СТАТИСТИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ

7.5 Датировка каталога Альмагеста по множеству 8-звездных конфигураций, состоящих из ярких звезд

Идея данного расчета, как и сам расчет принадлежит сотруднику государственного университета штата Флорида (США), известному специалисту в области анализа данных, профессору Деннису Дьюку (Dennis Duke, Florida State Univ.).

Он предложил рассмотреть совокупность всех конфигураций из восьми ярких звезд Альмагеста. В качестве ярких звезд профессор Деннис Дьюк взял множество из 72 звезд, величина которых в Альмагесте меньше 3. Напомним, что чем меньше величина, тем ярче звезда. Из этого множества 72 звезд были выбраны все сочетания по 8 звезд, для которых максимальная ошибка в широте в каталоге Альмагеста не превосходит 10 на некотором ненулевом временнДом интервале (t1,t2), целиком лежащем от 400 года до н.э. до 1600 года н.э. Всего получилось 736 сочетаний по 8 звезд из примерно 500 тысяч возможных сочетаний. Каждое такое сочетание задает свой интервал датировки (t1,t2). Деннис Дьюк рассмотрел множество центров этих "датирующих интервалов", то есть множество величин t1+t2 2 . Оказалось, что если построить гистограмму частот распределения этих центров на оси времени, то возникает ярко выраженный максимум на отрезке 600-900 годов н.э., рис.7.24. Следовательно, наиболее вероятной датой составления каталога Альмагеста являются VII - X века н.э.

рис.7.24: Гистограмма частот распределения центров "датирующих интервалов"для 736 конфигураций из восьми ярких звезд Альмагеста. Хорошо виден ярко выраженный максимум на отрезке 600 - 900 годов н.э.


Подход, предложенный профессором Д.Дьюком, обладает тем преимуществом, что плохо измеренные или слишком медленно меняющиеся звездные конфигурации автоматически исключаются из выборки. Поскольку для них интервалы датировки при 10-минутном уровне по широте либо пусты, либо настолько велики, что не умещаются внутри выбранного профессором Д.Дьюком априорного исторического интервала от 400 года до н.э. до 1500 года н.э. Оказывается, что после такого довольно жесткого отбора остается все еще много конфигураций. А именно, 736 восьми-звездных конфигураций. Если взять в качестве датировки по некоторой такой конфигурации центр ее "датирующего интервала"по уровню 10 в широте, то мы получим дату для каталога Альмагеста с некоторой случайной ошибкой. То есть, возмущенную дату составления каталога. Построив распределение возмущенных дат, мы сможем существенно точнее, чем по отдельной конфигурации, датировать каталог Альмагеста.

Естественно предположить, что истинная датировка каталога служит средним значением для случайно возмущенных дат. Это среднее можно оценить по имеющемуся в нашем распоряжении эмпирическому распределению. Считая, что истинное распределение возмущений близко к нормальному, легко оценить его дисперсию. Выборочное среднеквадратическое отклонение для распределения на рис.7.24 равно приблизительно 350 лет. Ввиду того, что выборка была цензурирована по априорному интервалу времени, который оказался несимметричным относительно центра распределения, см. рис.7.24, оценка среднего по данному распределению оказывается смещенной. Если учесть этот эффект, то более аккуратная оценка для среднеквадратичного отклонения будет еще меньше.

Далее, центр выборочного распределения лежит около 800 года. Если бы элементы выборки были независимы, то можно было бы сделать вывод о том, что истинная дата составления каталога Альмагеста лежит в пределах 800 ± (3 × 400)/√ ---- 736, то есть в пределах 800 ± 45 лет. На самом деле элементы выборки независимыми считать нельзя, поэтому эту реальная точность датировки каталога Альмагеста 800-м годом н.э. существенно ниже, чем ±45 лет. Тем не менее, датировку началом н.э. и более ранними эпохами в этой ситуации можно считать крайне маловероятной, практически исключенной.

7.6 Анализ устойчивости статистической процедуры датировки каталога Альмагеста
7.6.1 Необходимость вариации величин, участвующих в алгоритме

При реализации описанной выше процедуры датировки, некоторые величины, определяющие алгоритм, были выбраны достаточно произвольно, а другие явились результатом статистических выводов. Поэтому необходимо проверить, как ведет себя получаемый интервал датировки ПРИ ВАРИАЦИИ УКАЗАННЫХ ВЕЛИЧИН.

7.6.2 Вариация уровня доверия

Величина , определяющая уровень доверия, выбиралась нами достаточно произвольно. Напомним, что в статистических задачах она имеет смысл допустимой вероятности ошибки. То есть если, например, = 0, 1, то мы допускаем ошибку с вероятностью 0,1. Чем меньше , тем шире доверительный интервал. Зависимость величины доверительного интервала от рассмотрена в главах 5 и 6. См., в частности, табл.6.3.

Рассмотрим, как изменяется наш интервал датировки в зависимости от . Мы уже отмечали, - и это следует из рис.7.11, - что ПРИ ВСЕХ ЗНАЧЕНИЯХ , НЕ БДОЛЬШИХ 0,1, ИНТЕРВАЛ ДАТИРОВКИ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА ПОЛУЧАЕТСЯ ОДИН И ТОТ ЖЕ. Это утверждение является следствием расположения интервалов St() при = 10.

Но, быть может, если выбрать другое значение гарантированной точности каталога Альмагеста, не равное 10 минутам, заявленным Птолемеем, то картина окажется другой? Выберем = 15. См. соответствующую заштрихованную область на рис.7.11. Естественно, при этом интервал возможных датировок каталога Альмагеста расширится. Верхняя граница расширенного интервала датировки вновь не зависит от и равна t = 3. То есть, 1600 год н.э. Нижняя граница весьма слабо зависит от . А именно, при = 0, 1 она равна t = 16, 3, то есть 270 год н.э., а при = 0, 005 имеем t = 16, 5, то есть 250 год н.э.

Таким образом, эти результаты показывают, что СУБЪЕКТИВНЫЙ ВЫБОР УРОВНЯ ДОВЕРИЯ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА ЗНАЧЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ ИНТЕРВАЛА ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.

Попутно мы выяснили, как влияет на размер интервала датировок величина . Смысл которой - точность измерения широт именных звезд каталога. А именно, даже при увеличении с 10 (точность, заявленная Птолемеем) до 15, то есть при увеличении в 1,5 раза, ПОЛУЧАЕМЫЙ ИНТЕРВАЛ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НЕ ЗАХВАТЫВАЕТ СКАЛИГЕРОВСКУЮ ЭПОХУ ПТОЛЕМЕЯ. НЕ ГОВОРЯ УЖЕ О СКАЛИГЕРОВСКОЙ ЭПОХЕ ГИППАРХА.

АЛЬМАГЕСТА.

7.6.3 Сокращение состава информативного ядра звездного каталога Альмагеста

В известной мере субъективным является и выбор информативного ядра каталога. В самом деле, из 12 именных звезд мы отсеяли четыре - Канопус, Превиндемиатрикс, Сириус и Аквилу = Альтаир. Если отсев первых двух звезд объясняется причинами, "внешними"для нашего исследования, то Сириус и Аквилу мы не рассматривали по той причине, что групповые ошибки их окружений не совпадают с групповой ошибкой для ZodA. Но в главе 6 было показано, что есть еще по крайней мере две звезды - Лира и Капелла - групповые ошибки окружений которых могут не совпадать с групповой ошибкой для ZodA. Условность предыдущего предположения вызвана тем, что достоверно определить эти ошибки не представляется возможным. К тому же эти две звезды находятся далеко от Зодиака и близко к относительно плохо измеренной области неба М.

Итак, посмотрим, какой интервал возможных датировок каталога Альмагеста получится, если исключить указанные две звезды и оставить в информативном ядре каталога лишь шесть звезд: АРКТУР, РЕГУЛ, АНТАРЕС, СПИКА, АСЕЛЛИ, ПРОЦИОН. Рис.7.25, аналогичный рис.7.11, показывает - что при этом произойдет. Хотя область значений параметра , при котором максимальная широтная невязка не превосходит уровня 10 или 15, сильно расширилась, границы интервала возможных датировок изменились незначительно. А именно, верхние границы, - и для 10-минутного и для 15-минутного уровней, - сохранились прежними. Нижняя граница для 15-минутного уровня также не изменилась по сравнению с полученной при рассмотрении 8 звезд каталога. Нижняя же граница для = 10 сдвинулась в прошлое не более чем на 100 лет.

рис.725: Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его 6 именным звездам


Тем самым, если принимать во внимание лишь 6 именных звезд каталога Альмагеста, лежащих в области ZodA, либо в ее непосредственной окрестности, то можно заключить, что ЗВЕЗДНЫЙ КАТАЛОГ АЛЬМАГЕСТА НЕ МОГ БЫТЬ СОСТАВЛЕН РАНЕЕ 500 ГОДА Н.Э.

7.6.4 Если отбросить Арктур, датировка каталога Альмагеста существенно не меняется

Возникает еще один вопрос. Не является ли полученный нами интервал датировки каталога Альмагеста следствием движения всего лишь одной звезды? Этот вопрос резонный, так как если такая звезда найдется, то возможная неточность в измерении ее координат может исказать получаемую датировку. Единственным кандидатом на подобную роль "датирующей звезды"в информативном ядре является Арктур. Это самая быстрая из восьми звезд, во многом определяющая наш интервал датировки. Ее окружение к тому же измерено не очень хорошо. См. главу 6. Поэтому, если по какой-либо причине индивидуальная ошибка координат Арктура велика, то, вообще говоря, интервал возможных датировок может сильно исказиться. Проверим, каким станет этот интервал, если из информативного ядра каталога Альмагеста удалить Арктур и оставить в нем лишь 7 звезд. Разумеется, длина нового интервала возрастет. Она, грубо говоря, обратно пропорциональна максимальной скорости звезд из информативного ядра каталога. Рис.7.26 иллюстрирует получающуюся при этом картину. Из рисунка ясно видно, что даже в отсутствие самой быстрой звезды информативного ядра, - Арктура - 10-минутная область не опускается ниже 300 года н.э. (t = 16) при уровне доверия 1 - = 0, 95 или ниже. И лишь если мы поднимем уровень доверия до 1 - = 0, 99, - то есть до 99%, - эта область начинает захватывать 200 год н.э. То есть даже при 99%-ном уровне доверия скалигеровская эпоха Птолемея не захватывается интервалом датировки. Тем более не захватывается еще более древняя скалигеровская эпоха Гиппарха.

рис.7.26: Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его 7 именным звездам


Рассмотрим теперь 15-минутную область. Она достигает 100 года до н.э. (t = 20) при уровне доверия 1 - = 0, 95. При уровне доверия 1 - = 0, 99 достигается 200 год до н.э., то есть захватывается скалигеровская эпоха Птолемея, но не Гиппарха. Возникает вопрос: достаточен ли в нашем случае уровень доверия 1 - = 0, 95? По-видимому - да. Уровень 95% определяет достаточно высокую для исторических исследований точность. Фактически такая величина характерна даже для технических приложений, гда требования к точности очень высоки. Для справки скажем, что в работе [13], посвященной датировке Альмагеста, взято значение = 0, 2, то есть уровень доверия выбран всего лишь 80%. Таким образом, полученные нами выводы обладают очень высокой степенью достоверности.

Подводя итоги, можно заключить, что ни изменение уровня доверия, ни изменение состава информативного ядра, ни вариация значения гарантированной точности измерений не меняют основного сделанного вывода: ЗВЕЗДНЫЙ КАТАЛОГ АЛЬМАГЕСТА СОСТАВЛЕН СУЩЕСТВЕННО ПОЗЖЕ СКАЛИГЕРОВСКОЙ ЭПОХИ ПТОЛЕМЕЯ, то есть позже I-II веков н.э.

7.7 Геометрическая датировка каталога Альмагеста

Выводы, полученные в разделах 2-6, имели статистический характер. Сами значения групповых ошибок определялись с некоторой статистической погрешностью. Поэтому выводы о совпадении групповых ошибок в различных созвездиях каталога Альмагеста также, вообще говоря, могли быть ложными, хотя и с весьма малыми вероятностями. Устойчивость полученных статистических результатов была проанализирована в предыдущем разделе. Но чтобы полностью гарантировать себя от возможных статистических ошибок, ТЕПЕРЬ МЫ ПОЛНОСТЬЮ ОТКАЖЕМСЯ ОТ СТАТИСТИКИ И ПЕРЕЙДЕМ К ЧИСТО ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ РАССУЖДЕНИЯМ.

Рассмотрим "минимаксную широтную невязку"для определенного ранее информативного ядра каталога Альмагеста, состоящего из 8 именных звезд:
(7.3)

где минимум берется по всевозможным значениям и . Сравним данное равенство с равенством (7.3.1). Отличие между ними - лишь в области изменения параметра . В формуле (7.3.1) изменялось в пределах доверительного интервала, накрывающего точку stat(t). Равенство (7.7.1) такого ограничения не содержит. Следовательно, (t) (t).

Обозначим через geom(t) и geom(t) значения (,), доставляющие минимум правой части (7.7.1). Возможная неточность процедуры нахождения geom(t) и geom(t) для нас здесь будет совершенно несущественна.

Вспомним ситуацию, которая уже встретилась нам в разделе 3. Там мы сняли ограничения с параметра . Ограничения накладывались лишь на . Как мы видели, это привело интервалу датировки, на который статистические характеристики оценки для никак не влияют. Хотя, конечно, величина этого интервала получилась достаточно большой. Нечто подобное будет проделано нами здесь по отношению к обоим параметрам (,). Введенные выше величины geom(t) и geom(t) можно, если угодно, считать параметрами, задающими групповую ошибку для информативного ядра каталога. При условии, что каталог составлен в некую эпоху t.

На основе всего сказанного выше, будем считать интервалом возможной датировки каталога совокупность таких моментов времени t, для которых (t) 10. Чтобы найти этот интервал, изобразим на рис.7.27, рис.7.28, рис.7.29 и рис.7.30 график (t), а также графики функций geom(t) и geom(t). Приведенный график (t) был построен с помощью равенства (7.7.1), в котором величины (t,,) вычислялись по формуле (7.3.1) и производился перебор по и . На рис.7.28 для сравнения показан график зависимости geom(t) вместе с доверительной полосой. См. раздел 6. Показана также область таких значений (t,), что (t,,) < 10 при некотором .

рис.7.27: Геометрическая процедура датировки каталога Альмагеста: (t) = b(t,geom(t),geom(t))
рис.7.28: График зависимости geom(t) вместе с доверительной полосой
рис.7.29: Геометрическая процедура датировки каталога Альмагеста
рис.7.30: Геометрическая процедура датировки каталога Альмагеста. Увеличенный фрагмент

Из приведенных графиков следует, что НАЙДЕННЫЙ РАНЕЕ ИНТЕРВАЛ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НЕ РАСШИРЯЕТСЯ, ДАЖЕ ЕСЛИ ПРИМЕНИТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОЦЕДУРУ ДАТИРОВКИ. Это, в частности, дополнительно подтверждает, что наши статистические оценки statZodA, расчитанные по бДольшей части звезд каталога Альмагеста, действительно соответствуют групповой ошибке в небольшой совокупности именных звезд Альмагеста. Кроме того, доказано, что вне временнДого интервала от 600 года н.э. до 1300 года н.э. не существует такого способа совмещения реального звездного неба и звездного неба Альмагеста, при котором все звезды из его информативного ядра имели бы широтную невязку не более 10.

В заключение приведем также графики зависимости от априорной датировки t индивидуальных широтных невязок для 8 звезд информативного ядра Альмагеста при фиксированных значениях = 20 и = 0. См. рис.7.31. Верхняя огибающая этих графиков близка к кривой на рис.7.25, изображающей зависимость минимальной невязки от априорной датировки t для большей части временнДого интервала после 0 года н.э. (0<t<19). Это связано с тем, что значение = 20 близко к geom(t), а = 0 - к geom(t) для большей части этого интервала. К изменению картина мало чувствительна.

рис.7.31: Индивидуальные широтные невязки для каталога Альмагеста при b 0, 21


Рис.7.31 показывает - на каких именно звездах информативного ядра каталога Альмагеста достигается минимаксное значение широтной невязки (t) при различных априорных датировках t. На рис.7.31 четко выделяется скопление нулевых значений широтных невязок около значения t = 10, то есть около 900 года н.э. При таком значении априорной датировки каталога практически обнуляются невязки сразу для трех звезд информативного ядра. А именно, для Арктура ( Boo), Регула ( Leo) и Проциона ( CMi). Для остальных звезд информативного ядра каталога Альмагеста широтная невязка обращается в нуль только у Аселли ( Can) около начала нашей эры.

Любопытно сопоставить отмеченный факт скопления нулевых невязок с тем, что Арктур и Регул, наряду с Сириусом, занимали исключительное положение в "древней"астрономии. Так, Арктур - самая яркая звезда северного полушария - являлся, по-видимому, первой звездой, получившей в "древне-еческой астрономии собственное имя. Оно упоминается уже в описании звездного неба, данном в поэтической форме в "древней"поэме Арата. Регул - это звезда, служившая в греческой астрономии отправной точкой для измерения координат всех остальных звезд и планет.

7.8 Устойчивость геометрического метода датировки каталога Альмагеста. Влияние возможных погрешностей астрономического прибора на результат датирования
7.8.1 >Погрешности в изготовлении астрономических приборов могли влиять на точность измерений

В геометрическом способе датирования отсутствует доверительная вероятность . Однако необходимо проверить его устойчивость по отношению к заявленной точности каталога и к составу информативного ядра. Выводы здесь во многом аналогичны выводам раздела 6. Так, увеличение уровня точности с 10 до 15 приводит, как и в разделе 6, к сдвигу нижней границы интервала датировки вниз до 250 года н.э. Для уменьшенного информативного ядра из тех 6-ти звезд прежнего ядра, которые находятся либо в области ZodA, либо в ее окрестности, интервал датировки увеличился всего лишь примерно на 100 лет. А именно, он расширился от 500 года н.э. до 1300 года н.э. Удаление же из информативного ядра каталога быстро движущегося Арктура приводит к расширению интервалу датировки от 200 года н.э. до 1600 года н.э.

Таким образом, ни в каком случае интервал датировки каталога Альмагеста, полученный геометрической процедурой, не накрывает скалигеровскую эпоху Птолемея. Не говоря уж о "скалигеровском"Гиппархе.

Эти результаты по устойчивости несколько усиливают выводы раздела 6, поскольку "геометрический"интервал датировок каталога не Дуже "статистического интервала".

Кроме того, мы докажем устойчивость геометрической процедуры датировки к возможным погрешностям астрономического прибора наблюдателя.

Геометрический метод датировки основан на учете ошибки наблюдателя в определении полюса эклиптики. Рассматриваются все возможные вращения сферы, или, другими словами, - ортогональные вращения координатной сетки в пространстве. Если интересоваться только широтами, то вращение сферы можно задавать лишь вектором смещения полюса, поскльку оставшаяся компонента вращения не меняет широт.

Пусть вектор смещения полюса имеет координаты (,). Если удастся найти такое вращение сферы, которое опускает максимальную широтную невязку, - например, по информативному ядру каталога, или по зодиакальным звездам каталога и т.п., - НИЖЕ УРОВНЯ , то мы сможем датировать каталог. Напомним, что для каталога Альмагеста = 10.

Во всех рассмотренных выше случаях, ортогональных вращений звездной сферы было достаточно для того, чтобы опустить максимальную широтную невязку ниже заявленной точности каталога . И тем самым датировать каталог. А заодно - подтвердить точность , заявленную Птолеем. Однако, до сих пор мы не учитывали, что Птолемей мог пользоваться несовершенным астрономическим прибором. Например, астролябией, включающей в себя металлические кольца, слегка отклоняющиеся от идеального кольца, окружности. Кольцо могло быть слегка сжато с одного края и растянуто с другого. Кроме того, некоторые в идеале перпендикулярные плоскости этого прибора, могли оказаться по тем или иным причинам не совсем перпендикулярными. Мог возникнуть перекос углов. В результате, по разным осям мог появиться слегка разный масштаб.

Другими словами, прибор и, следовательно, определяемая им координатная сетка в трехмерном пространстве, могли быть подвержены некоторой деформации. Это могло сказаться на результате измерений и исказить результат. Возникает естественный вопрос. Как влияют малые деформации прибора, или, другими словами, - соответствующей ему трехмерной координатной сетки, - на результат измерений? Насколько должны быть значительны искажения инструмента, чтобы они стали заметно сказываться на результатах наблюдателя? Ниже мы даем полный ответ на эти вопросы.

7.8.2 Математическая постановка задачи

Сформулируем задачу в точных математических терминах. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство, в центре которого помещена сфера, отнесенная к трем взаимно ортогональным координатным осям. Эти оси определяют попарно ортогональные координатные плоскости. Измерение эклиптикальных координат звезд заключается в том, что звезда проектируется из начала координат на поверхность сферы в точку A, рис.7.32. Полученной точке A на сфере сопоставляются ее координаты, - например, сферические. Эти координаты наблюдатель заносит в свой каталог.

Будем считать для простоты, что ось z направлена на полюс эклиптики P, а плоскость xy пересекает сферу по эклиптике. Как мы уже подробно разъяснили, более надежно измеряемыми координатами являются широты звезд. Поэтому в первую очередь мы будем интересоваться именно широтой звезды A. Широта измеряется вдоль меридиана, соединяющего полюс эклиптики P со звездой A. Нулевой широте отвечает сама эклиптика, то есть нулевая параллель. На рис.7.32 эклиптикальная широта звезды A измеряется длиной дуги AB.

рис.7.32: Измерение эклиптикальной широты звезды


В описанном выше процессе занесения координат звезды в каталог заложено предположение, что прибор наблюдателя порождает идеальную сферическую систему координат в трехмерном окружающем пространстве. Однако реальный прибор может быть слегка деформирован. Пренебрегая эффектами второго порядка, без ограничения общности можно считать, что деформация прибора вызывает некоторое ЛИНЕЙНОЕ преобразование евклидовой системы координат в пространстве. Естественно считать это линейное преобразование близким к тождественному, так как слишком сильное искажение прибора будет замечено наблюдателем, претендующим, как мы видели, на точность 10. Даже если деформация системы координат и содержит малые нелинейные возмущения, фактически мы рассматриваем первое приближение, то есть линейную аппроксимацию, описывающую искажение прибора.

Линейное преобразование трехмерного пространства, оставляющее на месте начало координат, задается матрицей

( ) c11 c12 c13 C = c21 c22 c23 c31 c32 c33


Это преобразование, действуя на исходную евклидову систему координат, искажает ее. Из элементарной теории квадратичных форм хорошо известно, что невырожденное линейное преобразование, близкое к тождественному, деформирует сферу в некоторый эллипсоид, рис.7.33. Таким образом, хотя исходные взаимно ортогональные координатные прямые слегка перекашиваются, и вообще говоря, перестают быть ортогональными, всегда найдутся новые три взаимно ортогональные прямые, направленные по осям эллипсоида. Эти три новые прямые обозначены на рис.7.33 буквами x,y,z.

рис.7.33: Превращение сферы в эллипсоид при малой линейной деформации объемлющего пространства


Таким образом, для целей наших исследований можно считать, что линейное преобразование деформирует сферу следующим образом. Сначала происходит некоторый поворот (ортогональное преобразование), переводящий оси x,y,z в новые взаимно ортогональные оси x,y,z. Затем происходит растяжение по трем взаимно ортогональным направлениям с некоторыми коэффициентами 1,2,3. Это последнее преобразование однозначно задается диагональной матрицей

( ) c1 0 0 R = 0 c 0 2 0 0 c3


Коэффициенты растяжения 1,2,3 - это некоторые вещественные числа. Они могут быть положительными или отрицательными, но из самого смысла задачи следует, что они отличны от нуля.

7.8.3 Искажение сферы в эллипсоид

Деформации координатной сетки, вызванные ортогональными поворотами, были изучены выше, поэтому теперь можно все внимание сосредоточить на втором преобразовании, а именно на преобразовании подобия, задаваемом диагональной матрицей R.

Итак, без ограничения общности можно считать, что деформация астрономического прибора, порождающая линейное преобразование трехмерной евклидовой координатной сетки в пространстве, задается преобразованием подобия R с коэффициентами растяжения 1, 2,3, рис.7.34. Отметим, что числа i могут быть бДольшими единицы, равными единице или меньшими единицы независимо друг от друга. Поэтому, говоря о коэффициентах растяжения, мы в действительности имеем в виду не только фактическое растяжение (увеличение линейного размера вдоль оси), но и возможное сжатие, то есть уменьшение линейного размера. Если при некотором i выполнено неравенство i > 1, то мы имеем растяжение. Если же i < 1, то вдоль данной оси происходит сжатие.

рис.7.34: Преобразование подобия с независимыми коэффициентами растяжения или сжатия вдоль трех ортогональных осей


Числа 1,2,3 можно рассматривать как величины полуосей эллипсоида. На рис.7.34 эти полуоси изображаются отрезками O1,O2,O3.

7.8.4 Неточности измерений в "эллипсоидальной системе координат"

Обсудим подробнее измерение координат звезды в описанной выше искаженной системе координат, которую мы назовем эллипсоидальной. На рис.7.35 плоскость рисунка проходит через центр O, звезду A и полюс эклиптики P. Эта плоскость рассекает эллипсоид, порождаемый прибором, по эллипсу, показанному на рис.7.35 спошной линией. Соответствующая окружность, которая порождалась бы идеальным прибором, показана пунктиром. Сейчас нас интересуют лишь широты, поэтому напомним, что широты обычно отсчитываются от эклиптики, то есть от точки M на рис.7.35. Наблюдатель разделил дугу MP на 90 равных частей и тем самым градуировал кольцо (эллипс), отметив на нем градусные деления. Поскольку на самом деле он градуировал не окружность, а эллипс, то равномерные градусные деления на эллипсе слегка искажают углы. Следовательно, возникающая градуировка углов неравномерна. Мы считаем здесь, что наблюдатель этого не заметил, иначе бы он исправил свой прибор.

рис.7.35: Искажение широт наблюдаемых звезд в результате малого искажения системы координат, вызванного неточностями в изготовлении астрономического измерительного прибора


Наблюдая реальную звезду A, наблюдатель отметил ее положение A на своем "эллипсоидальном приборе". Измерив дугу AM, он получил, по его мнению, реальную широту звезды. Занося это число в свой каталог, который, естественно, предполагает в качестве системы координат идеальную сферическую систему, наблюдатель фактически отложил величину дуги AM вдоль окружности. То есть, вдоль дуги MP, рис.7.35. В результате он получил некоторую точку A. Поясним, что длина дуги AM равна длине дуги AM. Тем самым наблюдатель СМЕСТИЛ ИСТИННОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЗВЕЗДЫ.

Если эллипс таков, что точка P выше точки P, то направление смещения звезды будет другим. В этом случае точка A будет выше точки A на окружности PM. Возникающее преобразование окружности, а именно A → A, конечно, нелинейно. Его можно продолжить до преобразования всей плоскости и всего трехмерного пространства. При этом начало координат остается на месте. Однако, поскольку мы считаем искажения прибора все-таки незначительными, то, как уже было сказано выше, можно ограничиться рассмотрением линейного приближения. То есть, заменить, - не делая при этом большой ошибки, - описанное нелинейное преобразование его главной линейной частью. Такой главной частью является линейное преобразование растяжения по трем взаимно ортогональным осям с коэффициентами 1,2 и 3. Таким образом, мы снова возвращаемся к уже описанной выше математической постановке задачи. См. пункты 6.2 и 6.3. Точные значения искажений, вносимых указанным нелинейным преобразованием в широты звезд, были нами расчитаны на компьютере. Результаты этих расчетов приведены в табл.7.4.

7.8.5 Оценка искажений углов, измеряемых "слегка эллипсоидальным прибором"

Итак, пусть задано линейное преобразование трехмерного пространства, определяемое тремя числами 1,2 и 3, то есть матрицей

( ) c1 0 0 R = 0 c2 0 0 0 c3


Нам необходимо оценить возникающее при этом искажение углов. Пусть - истинная широта реальной звезды. Измерение на эллипсоидальном приборе превратит ее в некоторое другое число . Разность = -- дает величину возникшего искажения. С геометрической точки зрения искажение задается углом между направлением на реальную звезду и тем направлением на нее, которое вычисляется на искаженном приборе.

Оказывается, можно не рассматривать все трехмерное пространство, а ограничиться лишь плоским случаем. В самом деле, на рис.7.36 видно, что под действием линейного преобразования R звезда A перейдет в новое положение A. При этом параллель звезды A перейдет в параллель звезды A. Дело в том, что плоскость, ортогональная оси OP и определявшая параллель звезды A, перейдет в плоскость, также ортогональную оси OP. Так как нас интересуют лишь широты, то вместо точки A достаточно рассмотреть точку B, лежащую на меридиане звезды A, рис.7.36.

рис.7.36: В результате линейного преобразования системы координат, звезда "изменит свое положение"


Под действием преобразования R плоскость, проходящая через ось OP и меридиан звезды A, поворачивается вокруг оси OP. При этом в повернутой плоскости возникает линейное преобразование подобия. Следовательно, трехмерная задача сводится к двумерной. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим эллипс в двумерной плоскости, рис.7.37. Отвлекаясь от предыдущих обозначений, введем на плоскости декартовы координаты (x,y) и рассмотрим линейное преобразование

определяемое растяжениями 1 и 2 вдоль осей x и y соответственно.

рис.737: Превращение окружности в эллипс при малом искажении системы координат


Положение звезды A задается на единичной окружности радиус-вектором a = (x,y), а положение "искаженной звезды"B - радиус-вектором b = (1x,2y). Наша цель - вычислить угол как функцию от исходной широты и коэффициентов растяжения (сжатия) 1 и 2.

7.8.6 Оценка возможных искажений и устойчивость полученной нами датировки

>Из элементарных теорем аналитической геометрии следует, что cos равен скалярному произведению (a,b) векторов a и b, деленному на длину вектора b. При этом мы, естественно, считаем радиус окружности OM равным 1. Этого всегда можно добиться выбором соответствующего масштаба. Итак,

Пусть = 2/1 и = 1 + . Тогда

Пусть m = 1/ cos , тогда m 1. Возводя в квадрат, имеем:

Отсюда



Если мало, то m 1 и можно записать

Отсюда

Окончательно, при малых имеем

Но y = sin и = cos . См. рис.7.37. Итак, при малых получаем



Теперь найдем конкретные численные оценки для . Напомним, что 2/1 = 1 + , то есть величина показывает степень искажения системы координат. Участвующие в наших формулах величины удобно измерять в радианах. Имеем: 1o = p/180; 1 = 1o/60 = 3, 14/(60 ⋅ 180) 4, 35 ⋅ 10-4, то есть 1 0, 00044.

Полученная нами формула для показывает, что растет по мере приближения звезды либо к Зодиаку (то есть к эклиптике), либо к полюсу эклиптики. Дело в том, что sin 2 стремится в этих случаях к нулю. Следовательно, при разумно допустимых значениях , - то есть при искажениях прибора, которые незаметны невооруженным глазом, - широты звезд, близких к эклиптике или к полюсу, искажаются очень незначительно. Это говорит о том, что разумно допустимые искажения прибора не могут существенно повлиять на результат измерений звезд с малой и с большой широтами. То есть, с широтами, близкими к 0 градусов или к 90 градусам. Наибольшие искажения широт могут произойти для звезд, удаленных от эклиптики и от полюса эклиптики.

Дадим точные количественные оценки на конкретном материале звездных каталогов. Рассмотрим, например, Альмагест. Как видно из рис.7.27, график максимальной широтной невязки информативного ядра Альмагеста достаточно быстро нарастает справа и слева от интервала 600 - 1300 годы н.э. Возникает вопрос. Можно ли, допустив искажения прибора, "подавить", то есть уменьшить, эту широтную невязку, например, около начала нашей эры. То есть, в ту эпоху, когда, согласно скалигеровской версии хронологии, был создан Альмагест?

Другими словами, можно ли обосновать "скалигеровскую"гипотезу, состоящую в том, что звездный каталог Альмагеста был создан все же около начала нашей эры. Однако наблюдатель, дескать, пользовался слегка искаженным прибором. В результате чего внес некоторую ошибку в широты звезд. Можно ли, учитывая эту ошибку, датировать каталог эпохой, близкой к началу нашей эры?

Покажем, что на самом деле этого сделать нельзя. Допустим, что в измерениях присутствовали искажения астрономического прибора. Попытаемся, учитывая эти искажения, уменьшить широтную невязку по информативному ядру Альмагеста в предположении, что звезды наблюдались около начала н.э. Но, как мы подсчитали выше, эта невязка достаточно велика. Она составляет не менее 35 около 0 года н.э. Можно ли подавить ее, подобрав подходящее ?

Как было показано, подавить широтную невязку за счет звезд с малыми и большими широтами практически невозможно. Однако можно попытаться сделать это, используя звезды с широтами, близкими к 30o - 40o. В информативном ядре Альмагеста имеется Арктур, широта которого составляет 31 градус. Более того, ввиду значительной собственной скорости, Арктур дает основной вклад в формирование максимальной широтной невязки информативного ядра около начала нашей эры. Как видно из рис.7.31, график индивидуальной широтной невязки Арктура таков, что около начала нашей эры эта невязка как раз и достигает примерно 35. Итак, можно ли существенно уменьшить невязку по Арктуру вблизи скалигеровской датировки Алмьмагеста, допустив, что наблюдатель пользовался искаженным прибором?

Вычислим значение . Как уже отмечалось, точность каталога Альмагеста, заявленная его составителем, равна 10. Следовательно, чтобы подавить широтную невязку Арктура, уменьшив ее с 35 до 10, следует уменьшить широту примерно на 25. Таким образом, следует подобрать такое , чтобы равнялось 25. В радианах = 0, 01. Из формулы для сразу получаем, что



Итак, должно быть равным примерно 0,04. Только такими искажениями прибора можно пытаться объяснить широтную ошибку Арктура при наблюдениях около начала нашей эры. Но это значение слишком велико! Например, если радиус астролябии составляет 50 см, то прибор должен быть искажен так, чтобы радиус стал равен 52 см. Другими словами, ошибка в радиусе должна составлять около 2 см! Допустить такую огромную ошибку для астрономического прибора вряд ли возможно. Иначе придется предположить, что во времена Птолемея колеса телег изготовлялись с большей точностью, чем кольца астролябии.

7.8.7 Таблица численных значений возможных "эллипсоидальных искажений"

Выше мы привели таблицу точных значений искажений, возникающих при измерении широт звезд с помощью некоторого прибора, например астролябии, с эллипсоидально деформированным широтным кольцом. Отметим, что величина искажения широты звезды A зависит от значения истинной широты звезды A и от величины = R1/R2. Здесь R1 и R2 - это полуоси эллипсоидального широтного кольца прибора. Положим, как и выше, = 1 + . Тогда значение = 0 соответствует идеальному кольцу, то есть когда эллипс превращается в окружность. Следовательно, в этом случае искажения будут равны нулю на всех широтах. Как видно из табл.7.4, максимальные по абсолютной величине искажения появляются на широте 45 градусов. Это нетрудно показать также и теоретически. В табл.7.4 приведены значения разности b- b, где b - точное значение широты звезды, а b - значение широты, измеренное по отметкам на эллипсоидальном кольце с параметром = 1 + . Величины b и являются входами таблицы. Значения искажений b- b были рассчитаны нами численно, с помощью компьютера.

Из табл.7.4 видно, какую погрешность мы допускаем, заменяя рассмотренное выше нелинейное преобразование координатной сетки его главной линейной частью. Учет этой погрешности не меняет наших выводов относительно невозможности допустить такие искажения прибора Птолемея, которые привели бы к расширению интервала датировок до скалигеровской эпохи Альмагеста, якобы I-II века н.э.

7.8.8 Выводы

1) Теоретически возможны искажения астрономического прибора, приводящие к тому, что порождаемая им система координат в пространстве подвергается некоторому линейному преобразованию.

2) Можно теоретически вычислить зависимость между коэффициентом искажения прибора и возникающей при этом ошибкой в определении широт звезд.

3) Опираясь на материал конкретных каталогов, например Альмагеста, можно найти численные значения для и .

4) Никакими разумными искажениями астрономического прибора нельзя объяснить слишком большую широтную ошибку, найденную в каталоге Альмагесте при условии, что наблюдения проводились около начала н.э.

5) Полученные нами выше результаты, - включая датировку каталога Альмагеста 600 - 1300 годами н.э., - устойчивы к допущению разумно малых искажений наблюдательного прибора. Другими словами, введя гипотезу о возможном искажении прибора, все равно нельзя датировать каталог Альмагеста эпохами около начала нашей эры.

7.9 Поведение долгот именных звезд Альмагеста

При датировке каталога Альмагеста мы исследовали отдельно широты и долготы каталога. Было выяснено, что точность широт в Альмагесте существенно выше, чем точность долгот. Именно анализ широт позволил нам получить содержательный интервал возможных датировок каталога Альмагеста.

Естественно, мы провели все необходимые вычисления и проверили - какая датировка получается если вместо широт использовать долготы. Как и следовало ожидать по итогам нашего предварительного анализа, оказалось, что датировать каталог Альмагеста в пределах интервала времени от 1000 года до н.э. до 1900 года н.э., ОСНОВЫВАЯСЬ ЛИШЬ НА ДОЛГОТАХ ЗВЕЗД, НЕ УДАЕТСЯ. Причина - слишком низкая точность долгот звезд в Альмагесте

Возможность датировка каталога Альмагеста на основе совместного учета широт и долгот будет рассмотрена в следующем разделе.

Итак, посмотрим, какая датировка Альмагеста получается, если за основу брать не широты, а долготы звезд.

Обозначим через Li(t,,) значение долготы i-й звезды с учетом поворота звездной сферы на углы и . Это означает, напомним, что мы компенсируем возможную ошибку в положении эклиптики. Ошибка задается параметрами и . Для того, чтобы по возможности повысить точность выводов, рассмотрим лишь 6 именных звезд каталога Альмагеста, лежащих в области ZodA и в ее непосредственной окрестности. Это - АРКТУР, РЕГУЛ, АНТАРЕС, СПИКА, АСЕЛЛИ, ПРОЦИОН. Про эти шесть звезд в главе 6 было достоверно выяснено, что их групповая ошибка СОВПАДАЕТ с величиной statZodA.

Вычислим для этих звезд величины Li(t,statZodA(t), statZodA(t)), то есть долготы этих звезд после компенсации соответствующей групповой ошибки на эпоху t. Разумеется, при этом можно совершить погрешность и, быть может, значительную. Причин этому по крайней мере две. Первая: параметр сильно влияет на значения долгот. В то же время, как мы видели, этот параметр определяется неустойчиво. Следовательно, нет никакой гарантии, что для всех шести звезд он один и тот же и равен statZodA. Вторая причина такова. Выше мы не изучали групповые долготные ошибки, которые также могут существовать, см. [92]. Их анализ приводит к необходимости введения еще одной величины, параметризующей групповую ошибку. Таким может быть параметр t, см. главу 3. Он представляет собой угол поворота звездной сферы вокруг новых полюсов эклиптики, задаваемых параметрами и .

Обозначим Li(t) = Li(t,statZodA(t), statZodA(t)) - l i. Если изобразить поведение функции Li(t), то она может быть представлена в виде суммы почти линейной функции (равномерное изменение долготы вследствие прецессии) и нерегулярной "добавки", отвечающей различного рода погрешностям. Поэтому, чтобы исключить из рассмотрения влияние прецессии, а также возможной систематической ошибки t, введем величину

6 ΔL(t) = 1 sum ΔLi(t). 6i=1
Величина L(t) достаточно точно измеряет изменение долгот рассматриваемых 6-ти звезд вследствие прецессии. Положим

-- ΔL0i(t) = ΔLi(t) - Δ L(t).
На величину Li0(t) прецессия влияния уже практически не оказывает.

На рис.7.38 показаны изменения величин Li0(t) как функций априорной датировки t для шести рассматриваемых здесь звезд Альмагеста. Первое, что следует из рисунка, - это малые скорости изменения величин Li0(t) со временем. После компенсации прецессии "быстрые"звезды Альмагеста оказались очень "медленными"по долготам. Например, скорости изменения долгот Арктура и Регула почти равны друг другу. Самой быстрой звездой из 6-ти становится Процион. Но его долгота за 3000 лет, - от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э., - изменяется лишь на 17. То есть чуть больше 5 за тысячу лет. Ясно, что такого медленного изменения долготы совершенно недостаточно для содержательной датировки.
рис.7.38: Поведение долгот шести именных звезд: Арктур = номер Байли 110, Регул = номер 469, Процион = номер 848, Антарес = номер 553, Спика = номер 510, Аселли = номер 452
рис.7.39: Поведение функций Lmax(t) и L0(t)


На рис.7.39 изображены два графика, которые в принципе могли бы служить для датировки. Однако поведение этих графиков говорит об их полной бесполезности в этом качестве. А именно, рассмотрим две функции:

0 0 0 0 ΔLmax(t) = maxi ∣ΔL i(t)∣, ΔL (t) = maxi ΔL i(t)- - miin ΔL i(t).


Первая из них представляет собой максимальное по рассматриваемым звездам уклонение реальных долгот от долгот, записанных в Альмагесте. Уклонение берется по абсолютной величине, с учетом прецессии. Вторая функция, уже не зависящая от прецессии, - это разность между максимальным и минимальным уклонениями. Функция Lmax(t) достигает минимального значения при t = 15, то есть в 400 году н.э. А функция L0(t) - при t = 32, 5, то есть около 2350 года до н.э. Обе функции принимают сравнительно большие значения. А именно, L0(t) 25, а начиная со скалигеровской эпохи Гиппарха, L0(t) 30). Наконец, Lmax(t) 17. Все это говорит о том, что точность долгот слишком низка по сравнению со скоростями собственного движения. Мы не можем извлечь отсюда содержательное представление об истинной дате наблюдений.

Итак, вычисления подтвердили, что долготы каталога Альмагеста малоинформативны ввиду их низкой точности. По-видимому, причина этого правильно вскрыта Р.Ньютоном [38]. Он утверждал, что долготы в Альмагесте были кем-то подделаны. См. также главу 2. Сами мы подробных исследований в этом направлении не проводили. Вполне возможно, что при анализе долгот статистическими методами в их поведении также обнаружатся некоторые закономерности. Например, можно будет выявить в долготах отдельных частей каталога Альмагеста наличие групповых ошибок. Но, так это или нет, проведенные нами исследования показывают, что использовать долготы для уточнения датировки каталога Альмагеста, по-видимому, бессмысленно.

7.10 Поведение дуговых невязок в конфигурации, образованной информативным ядром Альмагеста

>В главе 3 уже обсуждался вопрос о возможности датировки каталога путем сравнительного анализа двух конфигураций. Одна - неподвижная, образованная звездами Альмагеста. Другая - подвижная, образованная современными звездами. Было отмечено, что это сравнение можно провести вообще без ссылок на теорию Ньюкомба. Например, если рассматривать лишь разности дуговых расстояний в сравниваемых конфигурациях. Среди трудностей, препятствующих применению данного метода, были упомянуты следующие. Во-первых, - это возможные ошибки в отождествлениях звезд. Во-вторых, низкая точность измерений координат, приводящая к непомерно большим интервалам датировки. В третьих, невозможность, при таком подходе, разделить координаты на точно и неточно измеренные компоненты. Скажем, на широты и долготы.

Если выбрать в качестве исследуемой конфигурации информативное ядро каталога Альмагеста, то первые два препятствия снимаются. В самом деле, отождествление указанных звезд сомнений не вызывает. А точность их измерения в соответствии с нашей основной гипотезой должна быть высокой. Во всяком случае, это касается широт звезд. Кроме того, в состав информативного ядра входят две весьма быстро движущиеся звезды: Арктур и Процион. Разумеется, неизвестная нам неточность измерения долгот может привести к таким погрешностям датировки, которые невозможно оценить. Тем не менее, отсутствие необходимости оценивать групповые ошибки при таком подходе делает соответствующие вычисления интересными. Хотя оценить погрешности этих вычислений, к сожалению, не представляется возможным. По крайней мере - на основе проведенных нами исследований.

Приведем здесь результаты наших вычислений в этом направлении, сделанных для уже рассматривавшихся выше конфигураций из 8 и 6 именных звезд Альмагеста.

Пусть lijA - дуговое расстояние между i-й и j-й звездами Альмагеста. Пусть lijt - аналогичное расстояние для "современных"звезд, рассчитанное для моментов наблюдения t = 1,..., 25. Обозначим через n число звезд в рассматриваемой конфигурации. Обозначим

Величину m(t) можно рассматривать как обобщенное расстояние между конфигурацией, расчитанной на эпоху t и соответствующей конфигурацией звезд Альмагеста. Точки минимума функций m2(t) и m(t) должны быть близки к дате составления каталога. На рис.7.40 изображены графики функций m2(t) и m(t) для конфигурации из 8 именных звезд, а на рис.7.41 - для конфигурации из 6 именных звезд Альмагеста.

рис.7.40: Графики m2(t) и m(t), характеризующие изменяющуюся конфигурацию из 8 именных звезд Альмагеста
рис.7.41: Графики m2(t) и m(t), характеризующие изменяющуюся конфигурацию из 6 именных звезд Альмагеста

Видно, что в обоих случаях достаточно четкий минимум лежит в точке t = 14 (500 год н.э.). При этом, минимум величины m(t) составляет около 14, что соответствует средней точности в 10 по каждой из координат. Ясно, что дата 500 год н.э. достаточно далеко отстоит от скалигеровской даты составления Альмагеста.

Некоторое "удревление"полученной даты - 500 год н.э. - по сравнению с интервалом датировок, найденным выше с помощью анализа широт, объясняется тем, что ошибка по долготам, взятым отдельно от широт, принимает минимальное значение при t 31 (1200 год до н.э.). См. раздел 9. Конечно, датировка 1200 годом до н.э. для Альмагеста невозможна. Но все дело в том, что МИНИМУМ СРЕДНЕЙ НЕВЯЗКИ ПО ДОЛГОТАМ ВЫРАЖЕН ОЧЕНЬ СЛАБО, ПОЭТОМУ ТОЧНОСТЬ ЭТОЙ ДАТИРОВКИ МОЖЕТ СОСТАВЛЯТЬ НЕСКОЛЬКО ТЫСЯЧ ЛЕТ. Другими словами, она ничему не противоречит, рис.7.38 и рис.7.39. Минимум же ШИРОТНОЙ невязки приходится на t = 10, то есть на 900 год н.э., и выражен ГОРАЗДО БОЛЕЕ ЯРКО. В результате минимум дуговых среднеквадратичных отклонений оказывается в промежуточной точке t = 14, то есть около 500 года н.э. Эта дата расположена гораздо ближе к точке более ярко выраженного минимума по широтам, чем к точке минимума по долготам.

7.11 Выводы

1) Датировка каталога Альмагеста, получаемая предложенными нами статистической и геометрической процедурами, - это интервал времени от 600 года н.э. до 1300 года н.э.

2) При датировке ранее, чем 600-м годом н.э. НЕ СУЩЕСТВУЕТ способа совмещения реального неба и звездного атласа Альмагеста с менее чем к 10-минутными широтными невязками для всех звезд информативного ядра Альмагеста.

3) Предположение о том, что точность каталога Альмагеста составляет не 10, а 15, все равно не приводит к включению скалигеровской эпохи Птолемея, якобы I - II века н.э., в интервал возможных датировок.

4) Изменение состава информативного ядра Альмагеста также не приводит к расширению интервала датировки до скалигеровской эпохи Птолемея.

5) Реальные неточности в изготовлении астрономических приборов, приводящие к нелинейным искажениям звездного неба в каталоге, все равно не могут расширить или сдвинуть интервал датировки до скалигеровской эпохи Птолемея.
Главная страница Оглавление Продолжение