В.В.Калашников, Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко
ЗВЕЗДЫ ЗОДИАКА.

Глава 1
НЕУДАЧНЫЕ ПОПЫТКИ ДАТИРОВОК АЛЬМАГЕСТА. ПРИЧИНЫ НЕУДАЧ. НАШ НОВЫЙ ПОДХОД И КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Попытка датировать Альмагест сравнением с расчетными каталогами по движению наиболее быстрых звезд

1.1.1 Как сравнить каталог Альмагеста с расчетными каталогами

В главе 1 мы привели алгоритм расчета современного звездного неба "в прошлое". Таким образом, на данный момент мы имеем в своем распоряжении каталог Альмагеста, составленный в эклиптикальных координатах в некоторую неизвестную эпоху t_A, и совокупность {K(t)} расчетных звездных каталогов. Они отражают реальный вид звездного неба, рассчитанный нами на компьютере, в произвольный момент времени t. Попробуем определить искомое значение даты t_A, то есть эпоху составления каталога Альмагеста. Для этого можно начать со следующей вроде бы простой идеи. Попытаемся сравнить ПОЛОЖЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЗВЕЗД в Альмагесте с их положениями в расчетных каталогах K(t). После чего, постараемся выбрать в качестве оценки даты t_A такое значение t^*, при котором данные Альмагеста и каталога K(t^*) согласуются наилучшим образом.

Не уточняя пока критериев качества такого согласования, выясним, что значит "сравнить Альмагест и каталог K(t)"при некотором t. Для этого надо сначала выбрать в каталоге Альмагеста и в каталоге K(t) ОДНИ И ТЕ ЖЕ КООРДИНАТЫ. При указанном сравнении год t выступает в качестве априорной датировки наблюдений, лежащих в основе каталога Альмагеста. Поэтому мы совместим эклиптику Альмагеста и эклиптику каталога расчетного K(t), то есть истинную эклиптику эпохи t.

Но это позволяет сравнивать только широты звезд Альмагеста и каталога K(t). Нам потребуется сравнивать также и долготы. То есть, наложить "поточечно"звездный атлас Альмагеста на реальный звездный атлас эпохи t, в предположении, что t - истинное время наблюдений автора Альмагеста. Но для этого необходимо указать на эклиптике Альмагеста точку весеннего равноденствия для эпохи t. Эту точку мы выберем так, чтобы средняя ошибка в долготе зодиакальных звезд Альмагеста равнялась нулю. Отметим, что при сравнении с долготами соответствующих звезд в каталоге K(t), мы пользуемся таблицей традиционных отождествлений звезд Альмагеста со звездами современного неба, приведенной в [92]. Выбрать такую точку равноденствия не составляет труда. Поскольку известно [71], [92], что для t = 18, 4, то есть для 60 года н.э., она совпадает с началом знака-дуги Овна на эклиптике Альмагеста. А при изменении года t смещается со скоростью приблизительно 49, 8^'' в год - со скоростью прецессии.

Выбирая точку весеннего равноденствия на эклиптике Альмагеста указанным способом, - являющимся оптимальным в статистическом смысле, - мы все же совершаем некоторую ошибку. Ее можно было бы избежать, ограничившись лишь сравнением широт звезд и вообще не сравнивая их долготы. Именно так мы и поступим ниже, в главах 3-5. Там мы проанализируем широты и долготы по отдельности. Рассуждения же настоящего раздела носят предварительный характер.

Попытка датировать каталог Альмагеста по собственным движениям отдельных звезд

Выберем для сравнения девять НАИБОЛЕЕ БЫСТРЫХ ЗВЕЗД, указанных, согласно [92], в Альмагесте. Это звезды, скорость собственного движения которых превышает 1^'' в год. Вот их список:

Cent (969) - 4, 08^'' в год,

o² Eri (779) - 3, 68^'' в год,

Boo (110) = Арктур - 2, 28^'' в год,

Cet (723) - 1, 92^'' в год,

CMa (818) = Сириус - 1, 33^'' в год,

Ser (265) - 1, 32^'' в год,

Per (196) - 1, 27^'' в год,

CMi (848) = Процион - 1, 25^'' в год,

Cas (180) - 1, 22^'' в год.

Все эти звезды входят в Альмагест, согласно традиционным отождествлениям [92]. Их номера Байли в сквозной нумерации каталога Альмагеста указаны в скобках. Изобразим каждую из этих звезд Альмагеста виде светлых кружков, рис.3.1, рис.3.2, рис.3.3, рис.3.4, рис.3.5, рис.3.6, рис.3.7, рис.3.8. Звезду Cent мы изображать не стали, так как координаты этой ОЧЕНЬ ЮЖНОЙ звезды даны в Альмагесте с ОГРОМНОЙ ОШИБКОЙ в 8 градусов.На рис.3.4, кроме звезды 779 из Альмагеста, показаны также соседние звезды 778 и 780 и траектории реальных звезд с номерами 1332, 1362, 1363 из каталога [84].

Рис. 3.1: Движение реального Арктура рядом с его положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.2: Движение реального Сириуса рядом с его положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.3: Движение реального Проциона рядом с его положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.4: Движение реальных звезд ² Eri и Eri в сравнении с данными Альмагеста. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.5: >Движение реальной звезды Cas рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.6: >Движение реальной звезды Per рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.7: Движение реальной звезды Cet рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, оказывается допущенная составителем Альмагеста
Рис. 3.8: Движение реальной звезды Cer рядом с ее положением, указанным в Альмагесте. На этом графике пока не учтена и не компенсирована систематическая ошибка, допущенная, оказывается, составителем Альмагеста

Мы получили, таким образом, изображения восьми маленьких областей на звездном атласе Птолемея. Мы пользовались при этом координатами звезд, указанными в Альмагесте. Каждая из этих областей содержит одну из перечисленных восьми быстрых звезд. Кроме того, мы считаем, следуя [92], что все эти восемь быстрых звезд Птолемей действительно наблюдал и они что действительно присутствуют на его каталоге.

Теперь для каждого момента времени t наложим описанным выше способом звездный атлас, построенный по расчетному каталогу K(t) и отражающий состояние реального неба в эпоху t, на звездный атлас Птолемея, построенный по Альмагесту. Изобразим среди звезд Альмагеста наши восемь быстрых звезд.

Способ наложения расчетного атласа K(t) на атлас Птолемея зависит от выбора эпохи t. Кроме того, каждая из восьми быстрых звезд меняет свое положение относительно других звезд расчетного каталога K(t) при изменении t. Поэтому изображение этих звезд на атласе Птолемея будет также зависеть от времени t. Таким образом, на атласе Птолемея появятся восемь траекторий, соответствующих смещению наших восьми быстрых звезд при изменении t. Эти траектории изображены на рис.3.1, рис.3.2, рис.3.3, рис.3.4, рис.3.5, рис.3.6, рис.3.7, рис.3.8. Подчеркнем, что пока мы не учитываем и не компенсируем систематическую ошибку в положении звезд, которую, как оказывается, совершил составитель Альмагеста. Об этой ошибке мы подробно будем говорить ниже.

В какие же моменты времени t рассматриваемые сейчас нами реальные быстрые звезды ближе всего подходят к своим изображениям на атласе Птолемея?

Вообще говоря, для различных звезд эти моменты времени различны. Для восьми перечисленных звезд обозначим их t₁,t₂,...,t₈. Если окажется, что все значения t_i (1 i 8), или хотя бы значительная их часть, близки друг к другу и к некоторому усредненному значению t^*, то это будет сильный довод в пользу того, что истинное время наблюдений автора Альмагеста близко к t^*.

ОДНАКО ЭТОГО НЕ ПРОИСХОДИТ. В самом деле, значения t_i хаотически разбросаны по интервалу времени -70 t 30, то есть от 1000 года до н.э. и до 9000 года н.э.! Разброс слишком велик. Сведем для наглядности результаты в табл.3.1. Присутствующий в таблице разброс индивидуальных датировок t_i отнюдь не удивителен. Дело в том, что каждая из рассматриваемых восьми звезд представлена в Альмагесте с некоторой, довольно значительной, ОШИБКОЙ.

Представление о возможном значении этой ошибки для отдельной звезды дает величина среднего дугового отклонения в том созвездии, куда входит данная звезда. Под дуговым отклонением здесь имеется в виду отклонение положения звезды в Альмагесте от истинного, расчетного положения. Строго говоря, указанная средняя ошибка зависит от априорной датировки Алмагеста. Например, из-за собственных движений звезд. Однако звезды неба в подавляющем большинстве почти неподвижны. Оказывается, что величина этой средней ошибки очень слабо зависит от эпохи, на которую рассчитываются координаты звезд. В пределах интересующей нас точности этой зависимостью можно пренебречь.

Для подсчета средней ошибки мы использовали таблицу сравнений положений звезд в Альмагесте с истинными положениями этих же звезд на 130 год до н.э., содержащуюся в труде Петерса и Кнобеля [92]. Нарисуем вокруг точки, изображающей быструю звезду на атласе Альмагеста, окружность - КРУГ ТОЧНОСТИ - с радиусом, равным средней ошибке для созвездия, содержащего нашу звезду, рис.3.4, рис.3.5, рис.3.6, рис.3.7, рис.3.8. Проекция этой окружности на траекторию расчетной звезды, отражающую движение реальной быстрой звезды по небу с течением времени, дает представление о возможной величине отклонения индивидуальной датировки t_i по данной звезде от истинной даты составления каталога. Для именных звезд - Арктура, Проциона, Сириуса - в качестве радиуса круга точности взято 10^', то есть цена деления шкалы каталога Альмагеста, рис.3.1, рис.3.2, рис.3.3.

1.1.3 Почему датировка Альмагеста по движению индивидуальных звезд не дает надежного результата

В этой ситуации естественно возникает вопрос. Может быть, результату по одной, или нескольким, из перечисленных восьми звезд мы должны доверять больше, чем по остальным звездам? Тогда в качестве оценки даты наблюдений Птолемея мы должны были бы взять датировку именно по этой звезде, или по этим звездам. А датировки по другим отбросить как недостоверные. В качестве таких "надежных"звезд естественно взять те звезды, координаты которых в Альмагесте наиболее точны. Но как их выбрать?

В некоторых работах предлагалось оценивать точность измерений Птолемея для каждой из рассматриваемых звезд исходя из расчетной дуговой невязки для данной звезды. То есть, пользуясь последней колонкой в приведенной таблице. Другими словами, предлагалось считать, скажем, что координаты звезды o² Eri измерены Птолемеем с точностью 5’, а координаты Арктура - с точностью 40^'. Именно так поступили авторы работы [13] Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская. Они пытались датировать Альмагест по собственным движениям и работали, в частности, с тем же списком из 9 быстрых звезд. При таком подходе датировка получится близкая к скалигеровской - 50 год до н.э. См. табл.3.1. Оценка возможной ошибки этой датировки - отдельный вопрос, который мы здесь пока не обсуждаем. Мы вернемся к нему ниже. Забегая вперед, скажем, что возможную ошибку своего метода Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская в работе [13] оценили совершенно неверно.

Но при таком подходе сразу же возникают следующие вопросы. Первый: как могло получиться, что из девяти рассматриваемых звезд ВСЕ ТРИ ЗВЕЗДЫ ПЕРВОЙ ВЕЛИЧИНЫ, - снабженные к тому же собственными именами в тексте каталога: Арктур, Сириус, Процион - Птолемей измерил якобы крайне грубо. А именно - с ошибками порядка ЦЕЛОГО ГРАДУСА. А вот ТУСКЛУЮ И ПЛОХО ЗАМЕТНУЮ звезду o² Eri он измерил якобы исключительно точно. С ошибкой всего 5^'! Поясним, что величина этой звезды, согласно современным измерениям, равна всего 4,5. То есть она очень туская. Все это очень странно. Такие известные, ярчайшие звезды неба, как Арктур, Сириус, Процион, Регул, Спика очевидно должны были служить "опорными точками"для Птолемея в его наблюдениях. Об их исключительном значении в древней астрономии говорит хотя бы тот факт, что в Альмагесте они снабжены собственными именами. Измерению некоторых из них посвящены даже специальные разделы "Альмагеста". Поэтому точность измерения их координат должна была быть особенно высокой. См., например, [66]. В то же время звезда o² Eri ничем не примечательна. Она ничем не выделяется среди таких же тусклых, как и она сама звезд, которыми она окружена.

Далее, со звездой o² Eri традиционно отождествляется звезда номер 779 в Альмагесте. Которая в Альмагесте описана просто как "средняя звезда". Поэтому при взгляде на рис.3.4 возникает следующий, уже второй, недоуменный вопрос. А почему, собственно, звезда номер 779 в Альмагесте это именно o² Eri? Ведь ясно, что такое умозаключение можно сделать только в том случае, если координаты реальной звезды o² Eri и звезды номер 779 Альмагеста согласуются лучше всего. Скажем, лучше, чем координаты o² Eri и звезды номер 778. Но ввиду значительной скорости собственного движения o² Eri это очевидно означает, что ее отождествление со той или иной звездой из Альмагеста существенно зависит от того, каким временем мы датируем Альмагест!

Например, если бы мы знали, что Альмагест написан в 1000 году до н.э., то отождествили бы o² Eri со звездой номер 778 Альмагеста. А затем могли бы успешно "датировать"Альмагест, исходя из минимально возможного расстояния между o² Eri и звездой 778 этим же самым 1000 годом до н.э. "Надежно подтвердив"тем самым нашу исходную датировку. Кстати, при таком отождествлении соответствие между координатами o² Eri и звезды Альмагеста было бы ДАЖЕ ЛУЧШЕ, чем при традиционном отождествлении. Это хорошо видно на рис.3.4. А допустив, например, что Альмагест написан в 1500 году н.э., то есть в XVI веке, мы могли бы отождествить звезду o² Eri со звездой номер 780 Альмагеста. И датировать его поздним средневековьем или даже "будущей эпохой", рис.3.4. Ясно, что в подобных рассуждениях содержится попросту ПОРОЧНЫЙ КРУГ. Чтобы датировать наблюдения по собственному движению звезды необходимо, чтобы эту звезду можно было бы уверенно отождествить в Альмагесте. Причем - независимо от его априорной датировки.

Однако даже если отбросить o² Eri, то по оставшимся восьми быстрым звездам Альмагест все равно не может быть надежно датирован на данном этапе. Слишком велик разброс датировок по разным звездам. Даже по звездам первой величины, из рассматриваемых 8 звезд, - по Арктуру, Проциону и Сириусу - датировки разбросаны по интервалу длиной 600 лет от 400 года н.э. до 1000 года н.э. См. табл.3.1. Кроме того, не следует забывать, что полученные таким путем датировки, - например, 900 год н.э. для Арктура, - представляют собой лишь моменты наибольшего сближения истинного положений звезд с их положениями в каталоге Альмагеста. Вокруг этих дат еще необходимо отметить временнДeые интервалы, в которых отклонения принимали бы допустимые по точности значения.

Дело усугубляется также тем, что выбирая в качестве оценки точности измерения той или иной звезды в Альмагесте какие-либо усредненные значения, мы заведомо совершаем некоторую ошибку. А ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ значения ошибок, совершенных при измерениях рассматриваемых звезд Птолемеем нам неизвестны.

Итак, сформулируем выводы.

1. Прежде чем использовать координаты отдельной звезды в Альмагесте для датировки, необходимо убедиться, что отождествление этой звезды со звездой современного неба не зависит от априорной датировки Альмагеста. Иначе мы придем к порочному кругу.

2. Даже для самых быстрых звезд смещение за счет собственного движения на протяжении исторического промежутка времени ДОСТАТОЧНО МАЛО, рис.3.1, рис.3.2, рис.3.3, рис.3.4, рис.3.5, рис.3.6, рис.3.7, рис.3.8 . Поэтому для датировки необходимо отбирать звезды, измеренные в Альмагесте ДОСТАТОЧНО ТОЧНО. Звезда, движущаяся со скоростью 2^'' в год, смещается за 100 лет всего на 3, 3^'. Поэтому, если мы хотим датировать Альмагест по отдельной быстрой звезде с точностью плюс-минус 300 лет, мы должны быть уверены в том, что данная звезда представлена в Альмагесте с точностью до 10^'. По оценкам исследователей, реальная точность Альмагеста намного ниже [92].

Звезды, представленные в Альмагесте с точностью хуже 20^', для нас практически бесполезны. Интервал датировок по ним составляет не менее 1200 лет. Таким образом, вопрос выбора точно измеренных Птолемеем звезд имеет первостепенное значение для датировки. Этот вопрос подробно обсуждается ниже, в главах 5 и 6.

1.2 Попытка датировать каталог Альмагеста по совокупностям быстрых и именных звезд путем сравнения с расчетными каталогами

1.2.1 По каким критериям следует отбирать звезды для датировки

В разделе 1 мы показали, что сравнение Альмагеста с расчетными каталогами K(t) по восьми наиболее быстро движущимся звездам не позволяет указать такое значение t^*, при котором Альмагест и каталог K(t^*) согласуются наилучшим образом. Для каждой звезды значение t^* = t _i^* оказывается своим и заметно отличным от других. Разброс для различных звезд составляет НЕСКОЛЬКО ТЫСЯЧ ЛЕТ. Следовательно, описанный выше подход слишком груб и не дает содержательного результата.

Может однако оказаться, что расширив выборку и рассмотрев не 8 звезд, а значительно больше, мы получим такой набор индивидуальных датировок {t_i^*}, значительная часть которого группируется в достаточно узком интервале времени. В конце концов, нас устроил бы даже интервал величиной порядка 500 лет. В этом случае мы смогли бы извлечь некоторую информацию об истинной дате наблюдений Птолемея t_A. Кроме того, расширив выборку, мы получим возможность применить для оценки величины t_A стандартные методы математической статистики.

Какие еще звезды следует включить в выборку? Ясно, что для целей датировки могут быть полезны лишь ДОСТАТОЧНО БЫСТРО ДВИЖУЩИЕСЯ И ДОСТАТОЧНО ХОРОШО ИЗМЕРЕННЫЕ Птолемеем звезды. Эти два условия, - скорость собственного движения и точность фиксации звезды в Альмагесте, - вообще говоря, дополняют друг друга. Ведь чем быстрее движется звезда, тем бДольшую ошибку мы можем допустить для ее координат в Альмагесте так, чтобы точность датировки по этой звезде не изменилась.

На основе указанных соображений, выберем следующие звезды для сравнения Альмагеста с расчетными каталогами K(t).

1) Звезды, достаточно быстро движущиеся. В качестве порога скорости возьмем 0, 5^'' в год хотя бы по одной из экваториальных координат ₁₉₀₀,₁₉₀₀ на эпоху 1900 года н.э. См. табл.1.1.

2) "Знаменитые"или именные звезды. То есть, звезды, которые имеют старинные собственные имена. См. табл.1.2.

Конечно, ИМЕННЫЕ ЗВЕЗДЫ могли получить свои имена и после написания Альмагеста. По-видимому, для многих звезд так оно и было. Однако, во-первых, собственные имена звезд, скорее всего, не забывались со временем. Хотя, конечно, могли изменяться. Другими словами, именные звезды времен Птолемея являются именными и сегодня. Во-вторых, присвоение данной звезде собственного имени говорит о том, что она имела для старой астрономии особое значение. Естественно поэтому предположить, что Птолемей также обращал на именные звезды больше внимания, чем на остальные. В частности, тщательнее измерял их координаты.

В качестве априорного интервала времени для нашего исследования возьмем интервал 0 t 30. То есть, от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э. Напомним, что буквой t мы обозначаем время, отсчитываемое в столетиях от 1900 года н.э. назад, в прошлое.

1.2.2 Система "интервалов сближения"для отдельных быстрых и именных звезд

Рассмотрим объединение списков быстрых и именных звезд, перечисленных в табл.1.1, и табл.1.2. Выберем из получившегося множества звезд те, которые, согласно [92], входят в Альмагест. Получившийся список содержит, оказывается, около 80 звезд. Для каждой звезды из этого списка рассчитаем ее траекторию в координатной сетке Альмагеста так, как мы это делали в разделе 1 для восьми наиболее быстрых звезд.

Напомним, что для этого мы фиксировали некоторое t в качестве априорной датировки и рассчитывали положение каждой звезды на эпоху t в эклиптикальных координатах этой эпохи. Это положение можно изобразить точкой на звездном атласе Птолемея. То есть на атласе, построенном по каталогу Альмагеста в предположении, что он составлен в эпоху t. Меняя значение априорной датировки t в пределах рассматриваемого исторического интервала, мы заставляем точку-звезду перемещаться по атласу Птолемея, среди звезд Альмагеста. По мере того, как меняется время t, и "расчетная"звезда с номером i движется среди звезд Альмагеста. Движение происходит за счет собственной скорости звезды, а также за счет слабого смещения эклиптики с течением временем. Расстояние между расчетной точкой-звездой и той звездой Альмагеста, с которой она отождествлена, также меняется. Отождествления мы брали согласно [92]. Расстояния на небесной сфере измерялись вдоль соединяющей звезды дуги геодезической. Напомним, что геодезическими на сфере, то есть линиями локально кратчайшей длины, являются дуги больших окружностей - плоских сечений, проходящих через центр сферы. Указанное расстояние на сфере называют ДУГОВЫМ РАССТОЯНИЕМ. Мы будем его называть также просто расстоянием.

Пусть в момент t^* = t _i расстояние между звездами достигает минимума. Этот момент времени t^* мы назвали в разделе 1 ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ДАТИРОВКОЙ ПО ДАННОЙ ЗВЕЗДЕ. При отклонении t от значения t^* как в одну, так и в другую сторону, расстояние между расчетной реальной звездой и ее "представителем"в Альмагесте начинает увеличиваться.

Поставим в соответствие каждой звезде с номером i из рассматриваемого нами списка, интервал априорных датировок [t₁^*,t ₂^*] = [t _i1,t_i2], при которых указанное расстояние не превышает 30^'. Этот интервал может, вообще говоря, оказаться пустым. Так будет, если в момент t^* расстояние между расчетной звездой и соответствующей звездой Альмагеста окажется больше 30^'. Центром интервала является значение t^*. См. рис.3.9.

Рис. 3.9: Движение реальной звезды вблизи ее положения, отмеченного в Альмагесте

Граница 30^' для дугового расстояния между звездой Альмагеста и соответствующей расчетной звездой была выбрана из тех соображений, чтобы для большинства звезд Альмагеста указанное расстояние не превышало этой границы. Действительно, если считать, что среднеквадратичная ошибка в дуговом расстоянии для звезд Альмагеста составляет около 40^', - что согласуется о исследованиями [92], [38], - то больше половины звезд должно быть представлено в Альмагесте с точностью не хуже 30^'. В этом рассуждении мы принимаем гипотезу о нормальности распределения ошибки и о независимости ошибок по отдельным звездам. Ввиду грубости приводимых здесь рассуждений, возможные отклонения от этих предположений практически не влияют на наши выводы.

Рис. 3.10:Интервалы максимального сближения заметно движущихся реальных быстрых или именных звезд с соответствующими им положениями в Альмагесте

Совокупность полученных таким образом интервалов, то есть "интервалов сближения", изображена на рис.3.10. Здесь показана ось времени от t = 0, то есть от 1900 года н.э. до t = 30, то есть до 1100 года до н.э. У каждого интервала отмечен центр, соответствующий "оптимальной"для данной звезды датировке t_i. Отмечены также точки, для которых расстояние между "звездой Альмагеста", - то есть положением, указанным в Альмагесте - и расчетной звездой составляет 10^' и 20^'. См. рис.3.9. Часть интервала, где это расстояние меньше 10^', изображена на рис.3.10 более жирной линией. Концы интервалов, если они попали в пределы рисунка, отмечены стрелками.

Многим звездам из нашего списка, объединяющего быстрые и именные звезды, вообще не поставлен в соответствие интервал на рис.3.10. Это означает, что соответствующий интервал:

1) Либо вообще не существует, то есть расстояние между звездой Альмагеста и расчетной звездой всегда больше 30^'.

2) Либо он не пересекается с априорным интервалом 0 t 30 и выходит за пределы рисунка.

3) Либо он целиком накрывает априорный интервал.

В последнем случае координаты звезды были, по-видимому, измерены достаточно хорошо, с точностью до 30^'. Однако, уточнить датировку наблюдений в пределах интервала времени от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э. по таким звездам не удается.

Приведем номера Байли тех звезд из Альмагеста, см. [92], [67], для которых 30-минутные интервалы сближения НАКРЫВАЮТ ВЕСЬ АПРИОРНЫЙ ИНТЕРВАЛ времени 0 t 30. Это звезды с номерами 35, 36, 163, 197, 222, 316, 318, 375, 768.

Интервалы для многих звезд изображены лишь частично. Это происходит когда часть интервала выходит за пределы априорного интервала 0 t 30 и таким образом не попадает на рис.3.10.

Около каждого интервала указан номер соответствующей звезды из Альмагеста, в нумерации Байли. Со знаком равенства указано условное название современной звезды, отождествляемой согласно [92] с данной звездой Альмагеста. А также ее собственное имя, если оно есть. Пунктиром отмечен момент t = 18 - скалигеровская датировка Альмагеста приблизительно сотым годом н.э.

1.2.3 Датировать каталог Альмагеста предложенным способом, опираясь на дуговые расстояния отдельных звезд, не удается

Из рис.3.10 ясно видно, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ ТАКИХ ЗНАЧЕНИЙ ВРЕМЕНИ t, КОТОРЫЕ ПРИНАДЛЕЖАЛИ БЫ ОДНОВРЕМЕННО ВСЕМ ИНТЕРВАЛАМ "МАКСИМАЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ". Чтобы все же получить такие t, начнем увеличивать величину возможной ошибки Альмагеста в положении звезды (порог точности), начиная с выбранного выше значения 30^'. При этом интервалы на рис.3.10 будут, очевидно, расширяться. Направление этого расширения показано стрелками. Наступит момент, когда все интервалы начнут пересекаться. Посмотрим - при каком значении времени t и при каком значении порога точности впервые произойдет это пересечение. Оказалось, что оно происходит при t 12, то есть около 700 года н.э., при величине порога точности около 60^', то есть около 1 градуса. При дальнейшем повышении порога точности интервал пересечения будет расширяться в обе стороны от точки t = 12.

Однако взять точку t = 12, то есть 700 год н.э., в качестве достаточно надежной оценки для даты наблюдений автора каталога Альмагеста МЫ НЕ МОЖЕМ. Дело в том, что пересечение ВСЕХ интервалов "максимального сближения"на рис.3.10 возникает лишь на пороге точности около 1 градуса. Но это означает, что в выбранной совокупности звезд ЕСТЬ ОЧЕНЬ ПЛОХО ИЗМЕРЕННЫЕ ЗВЕЗДЫ АЛЬМАГЕСТА. Ошибка Альмагеста в их положении достигает по крайней мере одного градуса. Но какова именно реальная точность координат звезд рассматриваемой совокупности в Альмагесте, мы не знаем. Если эту точность оценивать снизу с помощью выборочной среднеквадратичной дуговой ошибки в оптимальной точке t = 12, то в качестве допустимой ошибки (порога точности) придется взять ОЧЕНЬ БОЛЬШОЕ значение - около 2 градусов. Однако при таком значении порога точности пересечение интервалов допустимого "максимального сближения"накроет весь промежуток времени от 500 года до н.э. до наших дней, рис.3.10. Такой вывод никакого научного интереса, конечно, не представляет. И без того ясно, что Альмагест был создан где-то внутри этого большого интервала времени.

Кроме того, сама дата 700 год н.э. является НЕУСТОЙЧИВОЙ в следующем смысле. При изменении состава рассматриваемых звезд, - а произвол в определении их состава очевиден, - момент датировки может меняться весьма значительно. Ясно, что в такой ситуации говорить о надежном определении даты составления каталога Альмагеста бессмысленно.

1.2.4 Датировать каталог Альмагеста предложенным способом, опираясь на широтные невязки отдельных звезд, также не удается

Рассмотрим еще один способ вычисления интервалов максимального сближения для звезд Альмагеста из нашего объединенного списка быстрых и именных звезд. Этот способ аналогичен предыдущему, но только теперь в качестве расстояния между звездой Альмагеста и соответствующей расчетной звездой возьмем не дуговую, а ШИРОТНУЮ НЕВЯЗКУ. То есть, длину проекции отрезка, соединяющего эти две звезды, на меридиан в координатной сетке Альмагеста, рис.3.11. Выбор в качестве расстояния именно широтной, - а не долготной, скажем, - невязки обусловлен двумя причинами. Во-первых, хорошо известно, что ШИРОТЫ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА ТОЧНЕЕ ИХ ДОЛГОТ. См., например, [92], а также главу 2 настоящей книги. Во-вторых, широтная невязка НЕ ЗАВИСИТ от того, каким именно образом мы совмещаем Альмагест и расчетный каталог K(t) по долготам. См. главу 1. Следовательно, при этом удается избежать дополнительных ошибок из-за неточностей такого совмещения.

На рис.3.12 изображена получившаяся совокупность интервалов максимального сближения для случая, когда в качестве расстояния берется широтная невязка. Здесь опять не изображены интервалы сближения, целиком покрывающие промежуток 0 t 30, то есть от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э. Номера в Альмагесте тех звезд, для которых 30-минутные интервалы сближения по широте целиком накрывают промежуток 0 t 30, следующие: 1, 35, 36, 78, 111, 149, 163, 189, 222, 234, 287, 288, 315, 316, 318, 349, 375, 393, 410, 411, 424, 467, 469, 510, 713, 733, 760, 761, 768, 812, 818.

Сравнение рис.3.12 и рис.3.10 показывает, что широты рассматриваемых звезд в Альмагесте действительно СУЩЕСТВЕННО БОЛЕЕ ТОЧНЫ, чем их положения на небесной сфере, определяемые как широтой, так и долготой. Именно поэтому на рис.3.12 изображены интервалы для большего числа звезд, чем на рис.3.10.

Интервалы максимального сближения для всех звезд на рис.3.12, кроме двух звезд в Центавре (935 = 2g Cent и 940 = 5 Cent), начинают пересекаться также на уровне t = 12, то есть около 700 года н.э., при пороге точности 40^', по широте. Это лучше, чем 40^' в предыдущем случае, но все равно очень много. Таким образом, мы опять приходим к датировке примерно 700 годом н.э., но как и выше не можем считать этот результат надежным. В силу высказанных выше соображений. А поэтому такой способ датировки каталога никакого реального результата тоже не дает.

В целом, несмотря на то, что переход от ДУГОВОЙ невязки к ШИРОТНОЙ уменьшает ошибки Альмагеста и, следовательно, позволяет делать более точные статистические заключения, получающиеся при этом интервалы возможных датировок ВСЕ ЕЩЕ СЛИШКОМ ВЕЛИКИ. Они накрывают промежуток 4 t 20, то есть от 100 года до н.э. до 1500 года н.э. ТАКИЕ ИНТЕРВАЛЫ НЕ ДАЮТ НАМ ПОЛЕЗНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ДАТЕ НАБЛЮДЕНИЙ ПТОЛЕМЕЯ.

1.3 Попытка датировать каталог Альмагеста по движению отдельных звезд на фоне их ближайшего "неподвижного окружения"
1.3.1 >Изменяющаяся геометрия звездных конфигураций на фоне "неподвижных звезд"

В разделах 1 и 2 мы пытались датировать каталог грубыми методами, опираясь на различные звездные конфигурации, меняющиеся во времени за счет собственных движений отдельных входящих в них звезд. При этом КАЖДУЮ ЗВЕЗДУ В КОНФИГУРАЦИИ МЫ РАССМАТРИВАЛИ ИНДИВИДУАЛЬНО, сравнивая ее положение относительно "сферы неподвижных звезд"с положением, приведенным в Альмагесте. Чтобы сравнить эти положения, нам пришлось использовать теорию Ньюкомба, описывающую движение эклиптикальной системы координат, использованной в Альмагесте, на "сфере неподвижных звезд"с течением времени.

Посмотрим, что может дать нам метод датировки Альмагеста, не использующий теорию Ньюкомба. Идея такого метода проста. Надо сравнивать не положения отдельных звезд на "реальном", теоретически рассчитанном небе с их положениями в Альмагесте, а геометрию меняющихся за счет собственных движений звезд звездных конфигураций с конфигурациями из каталога Альмагеста. При таком сравнении нам понадобится только знание величины скоростей собственных движений звезд, но не теория Ньюкомба.

Хотя погрешности теории Ньюкомба весьма малы, - на несколько порядков меньше цены деления каталога Альмагеста, - тем не менее с вычислительной точки зрения рассмотрение конфигураций предпочтительнее. Прежде всего, в силу простоты вычислений.

Собственные движения звезд замерены в настоящее время с большой точностью на основании телескопических наблюдений [80], [84]. Величины скоростей собственных движений звезд и таблица отождествлений звезд Альмагеста со звездами современного неба - вот и вся дополнительная информация, которая будет здесь использована. Таблицу отождествлений мы заимствовали из [92], отбросив указанные там сомнительные случаи.

1.3.2 Какие именно звезды мы взяли для эксперимента

Будем по-прежнему сравнивать положение каждой отдельной быстро движущейся звезды на реальном небе с ее положением, указанным в Альмагесте. Однако теперь мы сравниваем положения звезды на реальном небе и в Альмагесте по отношению к некоторому МНОЖЕСТВУ ОПОРНЫХ ЗВЕЗД, выделенных как на реальном небе, так и в Альмагесте. В качестве такого множества мы выбрали звезды, которые либо имеют собственные имена, - например Альдебаран, Шиат и т.п., - либо однозначно выделяются по яркости среди своего ближайшего окружения. Звезды, на координаты которых могла повлиять рефракция, в список опорных мы не включали. Всего было взято 45 звезд. Среди них есть и заметно движущиеся, например, Арктур, Сириус, Процион, Капелла, Аквила = Альтаир, Денебола, Каф, Регул. Итак, положение движущейся звезды на реальном небе определяется относительно движущегося же базиса. Полученная картина, меняющаяся в зависимости от априорной датировки, сравнивается с соответствующей картиной, зафиксированной в Альмагесте.

В качестве меры отклонения возьмем среднее по конфигурации отклонение дуговых расстояний звезд:


Здесь N - число опорных звезд, _real(S_i,O_j,t) - дуговое расстояние между рассматриваемой звездой S_i и j-й опорной звездой O_j на реальном небе эпохи t. Далее, _Alm(S_i,O_j) - это дуговое расстояние между звездой S_i и звездой O_j в Альмагесте. Момент времени t_i, когда величина _i(t) достигает минимума, будем называть ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ДАТИРОВКОЙ ПО ДАННОЙ ЗВЕЗДЕ. Если для всех или большинства быстрых звезд каталога Альмагеста значения индивидуальных датировок t_i соберутся в достаточно малом временнДом интервале, то вблизи этого интервала, или в нем самом, должна находиться и истинная дата t_A наблюдений Птолемея. К сожалению, реальное положение дел совсем другое.

1.3.3 Поведение индивидуальных невязок и средней невязки

Были исследованы поведения невязок _i(t) для ВОСЬМИ достаточно быстрых звезд, входящих в каталог Альмагеста. А именно, для следующих звезд: КАПЕЛЛА - номер 222, АРКТУР - номер 110, АКВИЛА = АЛЬТАИР - номер 288, ДЕНЕБОЛА - номер 488, РЕГУЛ - номер 469, СИРИУС - номер 818, ПРОЦИОН - номер 848, КАФ - номер 189.

Здесь указаны номера Байли звезд в Альмагесте. Мы сознательно выбрали среди быстрых звезд Альмагеста лишь "знаменитые"и наиболее яркие, и отбросили тусклые. Как было отмечено выше, КООРДИНАТЫ ТУСКЛЫХ ЗВЕЗД МОГУТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В АЛЬМАГЕСТЕ ОЧЕНЬ НЕТОЧНО. Поэтому их включение в выборку может значительно увеличить разброс индивидуальных датировок.

На рис.3.13 показаны графики индивидуальных невязок для указанных быстрых звезд _i(t) как функций t . Приведен также усредненный график по всем этим звездам. К сожалению, этот график ОКАЗАЛСЯ ПОЧТИ ПОСТОЯННЫМ на всем временнДом интервале от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э. См. рис.3.13, внизу.

1.3.4 Отрицательный результат эксперимента

ОТКАЗ ОТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРИИ НЬЮКОМБА НЕ ПРИВЕЛ К КОНЦЕНТРАЦИИ НА ОСИ ВРЕМЕНИ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДАТИРОВОК ПО ОТДЕЛЬНЫМ ЗВЕЗДАМ. Это говорит о том, что причины, вызывающие ТАКОЙ БОЛЬШОЙ РАЗБРОС индивидуальных датировок, не связаны с методом пересчета координат на небесной сфере, а кроются только в низкой точности координат, приведенных в датируемом каталоге, в возможной неоднородности каталога и т.п. В разделе 5 этой главы мы проанализируем координаты звезд Альмагеста и общую структуру каталога Альмагеста с целью выявления всех причин такого рода.

1.4 Анализ некоторых ошибочных работ по датировке Альмагеста на основе собственных движений звезд.

1.4.1 Корень многих ошибок лежит не в астрономии, а в непонимании методов математической статистики

Проанализируем известные нам попытки различных авторов датировать Альмагест, основываясь на собственных движениях звезд. К сожалению, ВСЕ ЭТИ ПОПЫТКИ ОКАЗАЛИСЬ НЕУДАЧНЫМИ.

Как отклик на наши публикации по хронологии [44] - [50], появились работы астрономов Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской [13], [14], в которых предпринята попытка подтвердить скалигеровскую датировку звездного каталога Альмагеста по собственным движениям звезд. Вывод, сформулированный в [13], таков. Каталог Альмагеста датируется по собственным движениям входящих в него быстрых звезд началом нашей эры с точностью 100 лет. Буквально, авторы называют 13 год н.э. 100 лет.

В более подробной публикации [14] авторы, правда, формулируют свой вывод уже куда более осторожно: "Звездный каталог Альмагеста, таким образом, наблюдался в эпоху античности и, скорее всего, Гиппархом. Правда, остается не исключенной возможность, что яркие звезды Птолемей наблюдал сам. Некоторым аргументом в пользу такого предположения являются более поздние (на 2 - 4 столетия), чем для остальных звезд, эпохи, полученные нами для двух звезд первой величины, имеющихся в нашей выборке: Арктура и Сириуса"[14], с.189 - 190.

Однако на самом деле из содержания работ [13], [14] такой вывод НЕ СЛЕДУЕТ. Проследим вкратце схему рассуждений Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской, пользуясь более подробной публикацией [14], хотя все сказанное будет относиться и к более ранней работе [13].

Датировка звездных каталогов по методу, описанному в работах [13], [14], основана на сравнении меняющихся со временем конфигураций звезд с соответствующими конфигурациями, зафиксированными в Альмагесте. При этом оказывается, что основной вклад в изменение отдельной конфигурации вносит собственное движение только одной наиболее быстрой звезды в данной конфигурации. Поэтому конфигурации, рассматриваемые в [13], [14], называются там "группами"соответствующей звезды. Например, "группа Арктура", "группа Cet"и т.п. Будем придерживаться такой же терминологии.

Датировкой каталога по отдельной конфигурации предлагается считать такую датировку, для которой совокупность попарных расстояний между звездами в этой изменяющейся конфигурации наиболее близка к совокупности попарных расстояний в соответствующей конфигурации, зафиксированной в Альмагесте. Близость понимается в среднеквадратичном смысле.

При этом, естественно, получается не точная дата наблюдений Птолемея или другого наблюдателя, составившего каталог Альмагеста, а лишь некоторое приближение к этой дате. СПРАШИВАЕТСЯ, КАКОВА ВОЗМОЖНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ЭТОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ? НА ЭТОТ ВОПРОС В РАБОТЕ [14] ФАКТИЧЕСКИ НЕ ДАЕТСЯ НИКАКОГО ОТВЕТА.

Обсуждение вопроса о погрешности получаемых датировок заменяется апелляцией к графику зависимости величины среднеквадратичного отклонения между совокупностями попарных расстояний в Альмагесте, и на реальном небе, от времени априорной датировки наблюдений автора каталога Альмагеста. Авторы пишут: "Эпоха T₀ определяется достаточно уверенно, минимум функции r²(t) резкий и глубокий"[14], с.183. Однако из рисунка, на который в данном случае ссылаются авторы [14], с.185, рис.3, следует, ЧТО ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АПРИОРНОЙ ДАТИРОВКИ НА 1000 ЛЕТ ВЕЛИЧИНА СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ МЕНЯЕТСЯ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ НА 13^' ДЛЯ ВСЕХ КОНФИГУРАЦИЙ, КРОМЕ ОДНОЙ - ГРУППЫ ² Eri. Об этой группе см. ниже.

Давайте посмотрим - насколько существенно изменение величины среднеквадратичного отклонения на 13^' в ситуации, рассматриваемой Ю.Н.Ефремовым и Е.Д.Павловской. Цена деления шкалы Альмагеста равна 10^', а реальная точность координат звезд в Альмагесте, оцениваемая как среднеквадратичное дуговое отклонение, составляет около 30^'. См. [92], [38]. Исходя из скоростей собственного движения рассматриваемых звезд, это означает, что при оценке точности датировок по методу [14], - то есть исходя из минимума среднеквадратичного отклонения по конфигурации - мы должны допустить вариацию величины этого отклонения не только на 13^', но на гораздо бДольшую величину порядка 20^'--30^'. Это приводит к "интервалам датировки"длиной в 2-3 тысячи лет! Другими словами, ВОЗМОЖНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ДАТ, ПРИВЕДЕННЫХ В [14], ИМЕЕТ ПОРЯДОК 1000 - 1500 ЛЕТ. Более подробно точность метода, описанного в работах [13], [14], обсуждается ниже. Но датировка наблюдений составителя Альмагеста С ТАКОЙ НИЗКОЙ ТОЧНОСТЬЮ не позволяет отделить друг от друга не только скалигеровские даты жизни Гиппарха (якобы II век до н.э.) и Птолемея (якобы II век н.э.), НО ДАЖЕ ЭПОХУ ПТОЛЕМЕЯ ОТ НАШИХ ДНЕЙ! Ценность такого "результата"равна нулю. И без того ясно, что Альмагест был создан в эпоху последних двух тысячелетий.

Таким образом, корень этой и последующих ошибок указанных авторов лежит не в астрономии, а в математике. Неправильно применяются методы математической статистики. Или же не применяются вообще. Утверждения Ю.Н.Ефремова о "высокой точности"примененного им метода не выдерживают самой простой критики. В этой ситуации представляется крайне странным, что Ю.Н.Ефремов до сих пор, уже много лет продолжает публично настаивать на своих ошибочных результатах по датировке Альмагеста. В том числе - и в своих многочисленных выступлениях на страницах газет и журналов, предназначенных для массового читателя.

1.4.2 В работах Ю.Н.Ефремова по датировке Альмагеста данные подгонялись под желаемый ответ

В своей работе [14] Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская утверждают, что предлагаемый ими метод датировки звездных каталогов был проверен на трех достоверно датированных каталогах. Это каталоги Улугбека, Тихо Браге и Гевелия. Причем применение этого метода ко всем трем каталогам дало невероятно точные результаты. Даты создания каталогов Тихо Браге и Гевелия были "восстановлены"с точностью до 30 - 40 лет. А дата создания каталога Улугбека, НАИМЕНЕЕ ТОЧНОГО ИЗ ТРЕХ, - вообще с фантастической точностью - якобы 3 года!

При этом сразу настораживает то обстоятельство, что каждая из этих датировок была получена ПО СВОЕЙ звездной конфигурации. А именно, датировки каталогов Тихо Браге и Гевелия были получены по группе Арктура. А датировка каталога Улугбека - по группе Cet. Другие звездные конфигурации для каждого из упомянутых трех каталогов НЕ РАССМАТРИВАЮТСЯ ВОВСЕ. Почему? Ниже мы дадим ответ на этот вопрос.

Более того, свой основной результат по датировке Альмагеста Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская получают тоже ФАКТИЧЕСКИ ПО ОДНОЙ-ЕДИНСТВЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ - группе o² Eri. Хотя формально они пишут о рассмотренных ими 13-ти конфигурациях. Далее, рассмотренная ими группа o² Eri не имеет пересечений с группами Арктура и Cet, на которых "проверялся"метод. Анализ полученных ими датировок указанных каталогов показывает, что во всех случаях выбор конкретной звездной конфигурации для датировки каталога был обусловлен заранее известной авторам датой составления этого каталога. Другими словами, Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская в работе [14] ПОДБИРАЛИ ДЛЯ КАЖДОГО КАТАЛОГА СВОЮ КОНФИГУРАЦИЮ ЗВЕЗД, ЛУЧШЕ ВСЕГО ОТВЕЧАЮЩУЮ СКАЛИГЕРОВСКОЙ ДАТЕ СОСТАВЛЕНИЯ КАТАЛОГА. Такой "метод"является просто ПОДГОНКОЙ под заранее желаемый ответ.

Все это полностью обесценивает заявленные в [13] и [14] результаты. Эти результаты ошибочны и, следовательно, НЕ МОГУТ СЛУЖИТЬ НЕЗАВИСИМЫМ ПОДТВЕРЖДЕНИЕМ СКАЛИГЕРОВСКИХ ДАТ СОСТАВЛЕНИЯ СТАРЫХ ЗВЕЗДНЫХ КАТАЛОГОВ.

1.4.3 Порочный круг в датировке Альмагеста по движению звезды o² Eri

Проанализируем датировку Альмагеста по группе o² Eri, предложенную в работах Ю.Н.Ефремова [13], [14], более подробно. Поскольку фактически только на этой датировке Ю.Н.Ефремов и основывают свои выводы.

Звезда o² Eri уже обсуждалась выше, в разделе 1. Напомним, что ее отождествление в альмагесте СУЩЕСТВЕННО ЗАВИСИТ ОТ АПРИОРНОЙ ДАТИРОВКИ КАТАЛОГА. Другими словами, по отношению к этой звезде ответ на вопрос "кто есть кто в Альмагесте", - то есть присутствует ли там вообще звезда o² Эридана и если да, то где именно, - сильно меняется при изменении заранее принятой датировки каталога.

Напомним, что звезда o² Eri движется достаточно быстро, меняя свое положение на небе. В своем движении она последовательно отождествляется с РАЗНЫМИ звездами из Альмагеста. А именно, с тремя на историческом интервале последних двух с половиной тысяч лет. Номера Байли этих звезд Альмагеста таковы: 778, 779, 780. Из них звезда 779 традиционно, см. [92], отождествляется с o² Eri ЛИШЬ НА ТОМ ОСНОВАНИИ, что около начала нашей эры o² Eri занимала положение, близкое к положению звезды 779 на звездном атласе Альмагеста.

ОДНАКО ЗДЕСЬ ЯВНО ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО АЛЬМАГЕСТ ДАТИРУЕТСЯ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО НАЧАЛОМ НАШЕЙ ЭРЫ. Если же не делать априорных предположений о датировке Альмагеста, то сразу же возникают другие кандидаты в Альмагесте на отождествление с движущейся звездой o² Eri. Например, на интервале от 900 до 1900 годов н.э. из звезд Альмагеста лучше всего соответствует реальному положению звезды o² Eri звезда под номером 780. С другой стороны, звезда 779 в Альмагесте также не остается при этом без отождествления. А именно, она может быть успешно отождествлена со звездой 98 Heis [92], с.117. Более того, именно так (!) отождествлял звезду 779 астроном Пирс. См. [92].

Отметим, что звезда o² Эридана и ее окружение являются тусклыми звездами, с величинами 4,2 - 6,3. Поэтому ЕДИНСТВЕННЫЙ СПОСОБ отождествить их с какими-то звездами Альмагеста - это сравнить координаты. Яркости этих звезд примерно одинаковы, а птолемеевские словесные описания звезд в этой части Эридана скупы и крайне туманны. Поэтому надежное отождествление этих звезд по другим признакам, кроме координат, невозможно. Приведенное в [14] "доказательство"правильности отождествления o² Eri в каталоге Альмагеста основывается на поздних отождествлениях звезд в Альмагесте, то есть фактически на датировке каталога II веком н.э. Применение подобных "доказательств"для независимой датировки ПРИВОДИТ К ПОРОЧНОМУ КРУГУ. Как было показано нами выше, звезда o² Эридана принципиально не может служить основой для независимой датировки.

Таким образом, в работах Ю.Н.Ефремова и его соавторов [13], [14] ФАКТИЧЕСКИ СНАЧАЛА ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО АЛЬМАГЕСТ СОСТАВЛЕН ОКОЛО НАЧАЛА НАШЕЙ ЭРЫ. Затем на этом основании Ю.Н.Ефремов приходит к выводу, что Альмагест датируется 13 годом н.э. 100 лет. Это, очевидно, порочный круг!

1.4.4 Ошибки Ю.Н.Ефремова в оценке точности датировки Альмагеста по Арктуру

Теперь перейдем к Арктуру - второй, и последней, звезде, обсуждаемой в работе Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской [13]. Отождествление Арктура в Альмагесте сомнений не вызывает. В работе [13] по собственному движению Арктура первоначально получена датировка Альмагеста 250 годом н.э. Затем авторы "уточняют"эту датировку и получают по одной из конфигураций 310 год н.э. 360 лет. Об этом "уточнении"мы поговорим чуть позже.

Сомнительность результатов работ [13], [14] отмечалась другими авторами. Так, М.Ю.Шевченко [66], с.184 справедливо пишет, что в работе [13] "каталог относится к I веку до н.э., однако точность, а значит и достоверность этого результата пока оставляет желать лучшего".

С помощью несложных рассуждений легко оценить РЕАЛЬНУЮ ТОЧНОСТЬ "рационального зерна"метода, описанного в работе [13]. В самом деле, в [13] положение в Альмагесте той или иной движущейся звезды, скажем Арктура, определяется относительно звезд некоторого ее окружения. В случае Арктура - относительно "группы Арктура". Группа Арктура содержит 11 звезд. По отношению к этой группе определяется и положение Арктура на теоретически рассчитанном "назад", на эпоху t небе. Затем эти положения сравниваются.

Все звезды Альмагеста измерены с какими-то ошибками. Это, безусловно, относится и к звездам окружения или "группы". В частности, ко всем звездам группы Арктура. Но предположим на мгновение, что в Альмагесте звезды окружения Арктура измерены идеально точно. Хотя конечно это не так. Даже в этом идеальном случае ошибку в положении Арктура в Альмагесте НЕЛЬЗЯ СЧИТАТЬ МЕНЬШЕЙ 10^' по любой из координат. Поскольку такова цена деления координатной шкалы звездного каталога Альмагеста. Реально эту границу следует увеличить из-за неточности координат звезд окружения.

При этом ошибка в дуговом расстоянии, используемом в [13], составляет ОКОЛО 14^'. Если по каждой координате возможная ошибка составляет 10^', то для гипотенузы - по теореме Пифагора - она равна 14^'. Скорость собственного движения Арктура - около 2^'' в год. ТАКИМ ОБРАЗОМ, РАССТОЯНИЕ В 14^' АРКТУР ПРОХОДИТ ПРИМЕРНО ЗА 420 ЛЕТ. Это - лишь грубая оценка СНИЗУ точности "метода"!

В действительности же реальная точность положения Арктура в Альмагесте может оказаться существенно хуже 14^', а тусклые звезды окружения могли быть измерены еще хуже. Здесь мы, конечно, имеем в виду ошибку по ДУГОВОМУ РАССТОЯНИЮ. Как мы увидим ниже, широта Арктура в Альмагесте измерена достаточно хорошо. Но это ни в коей мере не относится к его долготе. См., в частности, исследования Роберта Ньютона [38]. Кроме того, нет никаких оснований предполагать, что Птолемей с хорошей точностью измерил какую-либо из координат тусклых звезд окружения. Следовательно, реальная точность "метода", описанного в работе [13] пО Арктуру, ЗНАЧИТЕЛЬНО ХУЖЕ 420 ЛЕТ. Поэтому интервал возможных датировок Альмагеста по этому методу заведомо шире, чем интервал от 200 года до н.э. до 700 года н.э.

Прокомментируем теперь предлагаемое в работах [13], [14] уточнение датировки по Арктуру. Это "уточнение"привело якобы к датировке Альмагеста 310 годом н.э. 360 лет. "Уточнение"основано на некоторой общей идее, суть которой сводится к следующему. Для целей датировки в [13], [14] используется метод наименьших квадратов. Элементарные вычисления показывают, что точность этого метода оценивается СНИЗУ величиной ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ошибки положения рассматриваемой быстрой звезды в Альмагесте, деленной на скорость ее собственного движения.

Эта оценка получается в предположении, что окружение рассматриваемой быстрой звезды было измерено Птолемеем АБСОЛЮТНО ТОЧНО. Учет неточностей птолемеевских координат звезд из окружения даст СУЩЕСТВЕННУЮ ПРИБАВКУ к ширине интервала датировки.

Ю.Н.Ефремов безо всяких оснований заменяет неизвестную ему ИНДИВИДУАЛЬНУЮ ошибку данной звезды на СРЕДНЮЮ КВАДРАТИЧЕСКУЮ, полученную в результате моделирования случайных ошибок Альмагеста. Точность предлагаемого метода моделирования, состоящего в многократном возмущении координат звезд из Альмагеста некоторой случайной величиной, "сравнимой"с точностью каталога, в работах Ю.Н.Ефремова не оценивается. А между тем этот метод будет работать лишь в том случае, если в результате случайных возмущений координаты звезд из Альмагеста станут близкими к истинным координатам с "заметной"вероятностью. Но в результате влияния упомянутой выше индивидуальной ошибки такое попадание в окрестность истинных координат скорее всего будеть иметь МАЛУЮ вероятность. В любом случае эту вероятность следует оценить. В работе [14] НЕТ И НАМЕКА НА ПОДОБНЫЕ ОЦЕНКИ. Вообще, с точки зрения математической статистики, предлагаемые авторами работ [13], [14] "методы"не выдерживают критики.

Авторы [14] заявляют, будто результаты вычислений по другим быстрым звездам, - почему-то не приведенные в их работе, - подтверждают выводы, основанные на исследовании o² Эридана и Арктура. Однако это заявление НЕ СООТВЕТСТВУЕТ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ.

Приведем лишь один яркий пример. Среди быстрых звезд, якобы обработанных авторами работ [13] и [14], содержится знаменитая в средневековой астрономии звезда ПРОЦИОН. Наши исследования, см. например раздел 1, показали, что Ю.Н.Ефремов должен был, пользуясь своим "методом", получить по Проциону датировку примерно X веком н.э. Которая никак не вяжется с его выводами. Почему-то в [13] о результатах по Проциону ничего не говорится.

Наконец, "метод", излагаемый в работах [13], [14], сильно зависит от выбора окружения исследуемой быстрой звезды, то есть от состава ее группы. Мы проверили, как меняется датировка по группе Арктура в зависимости от выбора различных звезд в этой группе. Оказалось, что при изменении состава группы датировка по Арктуру меняется от 0 года н.э. до 1000 года н.э. То есть "результаты"могут колебаться с амплитудой до тысячи лет! Это обстоятельство полностью обесценивает предлагаемый Ю.Н.Ефремовым "метод".

ВЫВОДЫ

1. Заявленный в работах Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской [13], [14] результат датировки Альмагеста по собственным движения звезд, авторами не обоснован. Более того, некоторые приведенные в [13], [14] рассуждения содержат "порочный круг".

2. Если очистить работы [13], [14] от рассуждений типа "порочного круга", то их "остаток"не противоречит нашей датировке. См. ниже.

3. Рассуждения Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской [13], [14] об оценке точности их метода, - в частности, моделирование поправок к Альмагесту, - математически безграмотны и, по нашему мнению, бессмысленны.

4. Авторы [13] и [14] "почему-то"не рассмотрели Процион, датировка по которому сильно отличается от скалигеровской.

Работа Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской [13] была опубликована в Докладах Академии Наук СССР в 1987 году. На ошибки, содержащиеся в работах [13], [14] мы указали, в частности, в наших статьях [21], [22], опубликованные в Докладах Академии Наук СССР в 1989 и 1990 годах. Эти ошибки авторами работ [13], [14] исправлены не были.

1.4.5 Еще один пример неправильной оценки точности астрономических вычислений

Остановимся еще на одной публикации [9], затрагивающей вопрос о датировке Альмагеста. Ее авторы Е.С.Голубцова и Ю.А.Завенягин сообщают, ссылаясь на Галлея, что за время, прошедшее от Птолемея до Галлея, - а точнее, до 1690 года, когда был создан звездный каталог Флемстида, - Арктур сместился на 1,1 градуса в сторону Девы. Сопоставив это с тем, что за один год Арктур смещается по небу на 2, 285^'', Е.С.Голубцова и Ю.А.Завенягин проводят следующий простой расчет. Они пишут: "разделив 1,1 градуса на 2,285 угловых секунд в год, получим 1733 года. Наконец, вычтя 1733 из 1690 (то есть из года составления каталога Флемстида), получим, что каталог Альмагеста составлен в 43 году до н.э. Ошибка разности координат соседних звезд значительно меньше, чем ошибка самих координат, так как при вычитании уничтожается систематическая ошибка. Поэтому средняя ошибка в положении ярких звезд относительно соседних с ними звезд в Альмагесте не превышает 0,1 градуса (? - Авт.). Это означает, что возможная ошибка датировки не превышает 150 лет"[9], с.75.

Таким образом, если авторы [13] датируют каталог по Арктуру 250 годом н.э., - а после "уточнения"даже 310 годом н.э., с точностью 360 лет, - то авторы [9], выполнив всего-навсего одно арифметическое действие, "датируют"Альмагест, тоже по Арктуру, 43 годом н.э. с гораздо более высокой точностью 150 лет.

Однако цитированный выше текст из [9] рассчитан на читателей, которые не поинтересуются реальным расположением звезд на небесной сфере. Вычисление авторов работы [9] основано НА МОЛЧАЛИВОМ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ о том, что вектор собственного движения современного Арктура направлен В ТОЧНОСТИ на его положение, указанное в Альмагесте. Если бы это было так, в их расчете содержалось бы какое-то рациональное зерно. ОДНАКО В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ЭТО НЕ ТАК. На рис.3.1 мы привели истинное направление движения Арктура по отношению к его положению, отмеченному в Альмагесте. Отчетливо видно, что Арктур движется заметно "вбок"от положения, отмеченного в Альмагесте. Поэтому на 2^'' нужно делить не 1,1 градуса, - как это почему-то делают авторы работы [9], - А НА СУЩЕСТВЕННО МЕНЬШУЮ ВЕЛИЧИНУ. Что даст ПРИМЕРНО 900 ГОД Н.Э. Конечно, со значительной возможной ошибкой, в силу грубости метода. Обсуждение точности такого метода см. выше.

Таким образом, о заявленном Е.С.Голубцовой и Ю.А.Завенягиным 43 годе н.э. с точностью 150 лет в качестве датировки Альмагеста по собственному движению Арктура не может быть и речи.

Отметим, что общая "идея"работы [9] трактовать случайные ошибки в Альмагесте как результат собственного движения звезд глубоко ошибочна. Абсурдность ее особенно наглядна на примере медленно движущихся, практически неподвижных звезд. Деление ненулевой ошибки Альмагеста в положении звезды на практически нулевую скорость ее собственного движения может дать какую угодно "бесконечно древнюю"дату наблюдения.

Фраза авторов [9] об ошибке положения ярких звезд в Альмагесте, не превышающей 0,1 градуса, то есть 6^', ни на чем не основана. Почему 6^', а не 2^' или 15^' ?! После всего сказанного выше о проблеме оценки точности звездных координат в Альмагесте, было бы излишним останавливаться на этом вопросе более подробно.

Авторы работы [9] не ограничились рассмотрением поведения Арктура. Они предприняли попытку датировки каталога и по другой "быстрой"и знаменитой звезде - Проциону. Цитируем: "Почти такой же результат получается и при датировке каталога Альмагеста по собственному движению Проциона, а именно - каталог Альмагеста создан в 330 году до н.э. с возможной ошибкой в 300 лет в ту или другую сторону... Датировка по Проциону является совершенно независимым подтверждением датировки по Арктуру, и обе датировки уводят нас в последние века до нашей эры"[9], с.75-76.

Однако и здесь, как и в случае с Арктуром, авторы почему-то не учли направления движения Проциона. Посмотрим, какую "датировку"мы получим, если, следуя их "методу"проведем расчет аккуратно, учитывая реальное положение звезд на небе. Оказывается, реальная траектория движения Проциона расположена так, что грубая датировка по Проциону дает X ВЕК Н.Э.! См. раздел 1. Естественно, вопрос о точности этой датировки остается открытым.

1.4.6 "Вторичный анализ"датировки Альмагеста в журнале "Самообразование"

В первом номере московского журнала "Самообразование"за 1999 год [229] была опубликована работа А.С.Дубровского, Н.Н.Непейводы и Ю.А.Чиканова под названием "К хронологии "Альмагеста"Птолемея. Вторичный математический и методологический анализ". В этой работе обсуждается, в частности, наша датировка каталога Альмагеста по собственным движениям звезд.

К сожалению, авторы работы [229] не смогли разобраться в необходимых вопросах астрономии. Поэтому они пришли к ошибочному заключению: датировка Альмагеста по собственным движениям не надежна в принципе, поскольку скорости собственных движений звезд плохо известны. О них, дескать, есть большие разногласия в астрономической литературе.

Авторы работы [229] пишут буквально следующее: "Что касается анализа движения "быстрых"звезд, то заметим, что данные о скоростях звезд, взятые группой Фоменко из каталога ... (дается ссылка на каталог ярких звезд [84] - Авт.), для ряда звезд существенно отличаются от данных в "Астрономическом ежегоднике [229], с.23. Далее в [229] приводится сравнительная таблица скоростей собственного движения в "Астрономическом ежегоднике"и в каталоге [84]. Например: скорости собственного движения Арктура равны (-1, 155; -1^'998) по одному каталогу (-0, 1098; -0, 2001) по другому.

Приведя эту замечательную таблицу на странице 24 работы [229], ее авторы приходят к следующему заключению: "КАК ВИДНО ИЗ ТАБЛИЦЫ, оценка возраста каталога по собственным движениям звезд более чем сомнительна и не выдерживает критики". Однако в этой таблице сравниваются между собой составляющие вектора скорости звезды не только В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ но, более того, - В РАЗНЫХ ЕДИНИЦАХ ИЗМЕРЕНИЯ! В одном случае взята экваториальная система координат на эпоху 2000 года н.э., а в другом - экваториальная система координат на эпоху 1900 года н.э. Это - РАЗНЫЕ СИСТЕМЫ. Что касается разных масштабов измерения сравниваемых скоростей в таблице из [229], то тут комментарии излишни. Ясно, что прежде, чем сравнивать какие-либо величины, их необходимо привести к единому масштабу измерения.

Мы не будем здесь обсуждать собственные попытки авторов [229] датировать Альмагест. Скажем лишь, что по нашему мнению, прежде чем приступать к датировке Альмагеста, им следовало бы более глубоко разобраться в существе тех весьма непростых вопросов, которые они взялись рассматривать. Это, кстати, связано с существенными затратами времени и труда, даже для специалистов.

1.5 Выводы и пути дальнейшего исследования. Наш подход и краткое описание полученных нами основных результатов

1.5.1 Возникают три задачи: отождествление звезд Альмагеста, природа возможных ошибок, анализ точности каталога

В разделах 1 - 3 было сделано несколько попыток датировать Альмагест на основе цифрового материала, содержащегося в звездном каталоге Птолемея. Все эти попытки оказались неудачными. Мы подробно остановились на них по двум причинам. Во-первых, теперь читатель может лучше представить себе, в чем состоят трудности независимой "внутренней"датировки звездного каталога Альмагеста. То есть датировки, основанной только на цифровом материале каталога. Во-вторых, мы хотели обосновать постановку тех вопросов, которые будут подробно обсуждаться в последующих главах книги.

Основной вывод, который можно сделать на данном этапе, таков. Для датирования Альмагеста необходим тщательный предварительный анализ каталога. Этот анализ должен затрагивать следующие вопросы.

1. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА И ЗВЕЗД СОВРЕМЕННОГО НАМ НЕБА. В разделе 1 мы показали, что эта проблема не всегда решается однозначно и, вообще говоря, ее решение может зависеть от априорной датировки каталога. Поэтому, прежде чем датировать каталог, необходимо выявить и отбросить все случаи сомнительного или неоднозначного отождествления звезд Альмагеста и современных звезд.

2. ПРИРОДА ВОЗМОЖНЫХ ОШИБОК В КАТАЛОГЕ АЛЬМАГЕСТА. Величины ошибок в координатах звезд, характерные для Альмагеста, приводят к выводу, что уточнить в пределах исторического интервала датировку каталога Альмагеста на основе собственных движений звезд невозможно. Однако это утверждение становится вообще говоря неверным, если удастся обнаружить СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ СОСТАВЛЯЮЩУЮ в ошибках положений звезд Альмагеста. В этом случае возникнет возможность КОМПЕНСИРОВАТЬ ЕЕ, ПОВЫСИВ ТЕМ САМЫМ ТОЧНОСТЬ КАТАЛОГА. Что, в свою очередь, может позволить все-таки датировать его.

3. ТОЧНОСТЬ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА, ДОСТИГАЕМАЯ НА РАЗЛИЧНЫХ ПОДМНОЖЕСТВАХ ЗВЕЗД. Цель этого анализа - выделение группы звезд в Альмагесте, координаты которых должны были быть измерены Птолемеем с некоторой гарантированной точностью . Коль скоро такая группа выявлена, она определяет множество возможных датировок Альмагеста. А именно, возможными будут те датировки, которые позволяют добиться гарантированного уровня точности на звездах из этой группы. Если полученный интервал датировок окажется существенно меньше априорного исторического промежутка, то мы получим содержательную информацию о дате составления звездного каталога Альмагеста. Эта идея будет использована ниже. См. главы 5 - 7.

Обсудим вкратце каждый из перечисленных трех вопросов. Более подробно они анализируются в последующих главах книги.

1.6 Отождествление-распознавание звезд Альмагеста

В настоящее время существует довольно много рукописных списков и несколько средневековых изданий Альмагеста, в которых эклиптикальные координаты отдельных звезд разнятся. Большинство этих списков и изданий, - но не все! - приведены по прецессии примерно к 60 году н.э. Это означает, что если сравнить долготы звезд из данного списка или издания Альмагеста с точно рассчитанными долготами звезд на 60 год н.э., то средняя погрешность окажется равной нулю. Такое сравнение возможно в силу того, что отождествление подавляющего большинства звезд Альмагеста со звездами современного неба не вызывает сомнений.

Исходным текстом для нас являлся каталог Альмагеста, содержащий более тысячи звезд, в том виде, в котором он приведен в фундаментальном труде К.Петерса и Е.Кнобеля [92]. В список анализируемых звезд был включен и ряд ВАРИАНТОВ КООРДИНАТ, приведенных в этой работе [92]. На предварительном этапе не подвергались никакому сомнению координаты звезд Альмагеста и тот факт, что они даны в эклиптикальных координатах с приведением по прецессии к 60 году н.э.

Как уже говорилось, в работе [92] дано отождествление звезд Альмагеста с современными звездами. Тем не менее с целью предварительного отбора звезд для последующего анализа процесс отождествления был проведен нами ЗАНОВО. См. главу 4. При этом в основном БЫЛИ ПОДТВЕРЖДЕНЫ отождествления из [92].

Однако было обнаружено несколько звезд современного неба, которые в различные эпохи t отождествляются с РАЗЛИЧНЫМИ звездами Альмагеста. Таковы, например, o² Eri, Cas. Для этих звезд отождествление, принятое в [92], получено в предположении, что наблюдения Птолемея проводились около начала нашей эры. Основывать датировку каталога Альмагеста на анализе таких звезд бессмысленно, так мы просто придем к порочному кругу. Все такие звезды были исключены нами из рассмотрения.

Заметим в добавок, что в [92] отождествления и координаты звезд o² Eri и Cas считаются сомнительными.

После процедуры отождествления был получен список следующих данных о всех отождествленных парах:

- номер Байли i, то есть порядковый номер в Альмагесте;

- прямое восхождение _i и склонение _i звезды из современного каталога на момент t = 0;

- составляющие скорости движения звезды по небесной сфере;

- долгота l_i и широта b_i соответствующей звезды из Альмагеста.

Обозначим через _i(t),_i(t) экваториальные, а через L_i(t),B_i(t) - эклиптикальные координаты i-й звезды из расчетного каталога K(t) на эпоху t. Задача состоит в том, чтобы, выбрав предварительно критерий согласия, найти такое значение t, при котором набор координат V (t) = (L_i(t),B_i(t))_i1 или W(t) = (_i(t),_i(t))_i1 наилучшим образом согласуется с набором V _A = (l_i,b_i)_i1.

1.6.1 Различные типы ошибок в каталоге

Выше было показано, что на основе простого сравнения расчетных координат звезд с их координатами в каталоге Альмагеста датировку последнего определить невозможно. Это объясняется прежде всего большими погрешностями каталога Альмагеста. Поэтому к успеху может привести только тщательный учет ошибок различной природы в Альмагесте.

Будем делить ошибки на три типа: ГРУППОВЫЕ, СЛУЧАЙНЫЕ и "ВЫБРОСЫ".

К ГРУППОВЫМ ошибкам отнесем всевозможные искажения данных, возникшие вследствие измерений или пересчетов и приводящие к СМЕЩЕНИЮ ГРУППЫ ЗВЕЗД КАК ЕДИНОГО ЦЕЛОГО на небесной сфере.

Ошибки СЛУЧАЙНЫЕ носят индивидуальный характер и имеют своей причиной прежде всего погрешности измерения в пределах цены деления шкалы измерительного прибора. Эти ошибки характерны тем, что смещают каждую звезду на небесной сфере на случайную величину, имеющую нулевое среднее.

ВЫБРОСЫ возникают из-за непредвиденных или неизвестных составителю обстоятельств. Ошибки при переписывании, рефракция и т.п. Они также действуют лишь на координаты отдельных звезд, а их величины, как правило, заметно больше точности шкалы измерительного прибора. Сами же ошибки-выбросы достаточно редкие.

НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫМ ЯВЛЯЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЬ И КОМПЕНСИРОВАТЬ ГРУППОВЫЕ ОШИБКИ. Как это можно сделать - обсуждается в главе 5, где не только даются формулы для их нахождения, но и показывается, как определять точность найденных значений.

Определению ошибок различного типа в координатах звезд Альмагеста посвящена глава 6. ОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО В КООРДИНАТАХ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА ДЕЙСТВИТЕЛЬНО СОДЕРЖАТСЯ ЗНАЧИТЕЛЬНЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ ГРУППОВЫЕ ОШИБКИ, СОСТОЯЩИЕ В СДВИГАХ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЗВЕЗДНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ КАК ЕДИНОГО ЦЕЛОГО ПО НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ.

Значения групповых ошибок могут, вообще говоря, быть различными для различных групп звезд. Собственно, этому обстоятельству они и обязаны названием. Впрочем, мы убедимся, что в достаточно больших областях неба групповые ошибки Альмагеста и других старых звездных каталогов для различных созвездий совпадают между собой и равняются единой ошибке для всей области. Назовем такую ошибку СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ошибкой данного каталога в данной области звезного неба.

Каждый сдвиг, задающий групповую ошибку, можно описать с помощью трех параметров. В качестве таких параметров выберем следующие, так сказать, базовые ошибки. См. рис.1.1 в главе 1.

Ошибка В ПОЛОЖЕНИИ ТОЧКИ ВЕСЕННЕГО РАВНОДЕНСТВИЯ Q(t_A), сделанная наблюдателем в год наблюдений t_A В НАПРАВЛЕНИИ ВДОЛЬ ЭКЛИПТИКИ. Другими словами, - это проекция на эклиптику вектора смещения точки весеннего равноденствия каталога Альмагеста от ее истинного положения.

ОШИБКА В ПОЛОЖЕНИИ ТОЧКИ Q(t_A) В НАПРАВЛЕНИИ МЕРИДИАНА. То есть, проекция вектора ошибки на эклиптикальный меридиан.

ОШИБКА В УГЛЕ МЕЖДУ ЭКЛИПТИКОЙ И ЭКВАТОРОМ. При измерении эклиптикальных координат звезды земным наблюдателем, вне зависимости от способа этого измерения, требуется предварительно определелить величину угла между эклиптикой и экватором. Если наблюдатель совершил ошибку в определении этого угла, то эклиптика каталога будет повернута относительно положения реальной эклиптики в год наблюдений на величину .

Возможность появления групповых ошибок в Альмагесте обсуждалась многими исследователями. См., например, работы [92], [38], [35]. Здесь мы лишь упомянем вероятные причины возникновения таких ошибок.

Ошибка могла быть вызвана тем, что наблюдатель или позднейший составитель каталога по тем или иным соображениям "привел"каталог к другой дате, ОТЛИЧНОЙ ОТ ДАТЫ РЕАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ. Иногда такое приведение каталога служило, вероятно, методическим целям. Например, стремление привести каталог к какой-либо круглой или важной календарной дате. Иногда могло служить для намеренной маскировки подлинной даты наблюдения [38]. Иногда было просто следствием изменения начальной точки отсчета долгот. Как мы уже показали, древние астрономы могли, вообще говоря, отсчитывать долготы ОТ РАЗЛИЧНЫХ ТОЧЕК НА ЭКЛИПТИКЕ. Изменение начала отсчета приводило, естественно, к прибавлению некоторой постоянной ко всем эклиптикальным долготам. А значит - и к изменению "датировки"каталога, если "датировать"его по прецессии долгот.

Понятно, что ШИРОТА ЗВЕЗДЫ НЕ ЗАВИСИТ от ошибки . Это - одна из причин большей надежности широтных координат. Именно поэтому далее мы будем работать с широтами и долготами отдельно. Итак, при учете широтных невязок ДОСТАТОЧНО ЛИШЬ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ, например, и , задающих групповую ошибку.

Что можно с самого начала сказать о величинах и ? Экваториальные широты звезд определяются из непосредственных наблюдений достаточно просто и точно [4]. Поэтому следует ожидать, что для аккуратного наблюдателя ошибка должна быть достаточно малой в момент его наблюдения. Ошибка носит принципиально другой характер. Определение положения эклиптики является итогом достаточно сложных вычислений или результатом не очень простых измерений. См. главу 1. Следовательно, величина ошибки может оказаться существенно больше величины ошибки .

В работах [35], [92] можно найти указания на то, что в Альмагесте действительно имеется систематическая ошибка . Более того, некоторые исследователи Альмагеста оценивали величину этой ошибки приблизительно в 20’. Наши расчеты подтверждают это. См. главу 6.
Рис. 3.14: Параметризация систематической ошибки в эклиптикальных координатах звезд при помощи параметров и или и . В этом примере = 0
Иногда вместо и мы будем использовать параметры и , более удобные с вычислительной точки зрения. Смысл их поясняет рис.3.14. С точки зрения широтных невязок групповая ошибка сводится лишь к неправильному положению плоскости эклиптики. Назовем его "эклиптикой каталога". Задать взаимное расположение плоскостей эклиптики каталога и реальной эклиптики на эпоху t_A составления каталога можно, фиксируя угол между осью равноденствий QR для эпохи t_A и осью CD поворота плоскости, а также фиксируя плоский угол между рассматриваемыми двумя плоскостями эклиптики - истинной и ошибочной. В дальнейшем мы будем параметризовать групповые ошибки как правило с помощью величин и .

Вообще говоря, СОСТАВИТЕЛЬ КАТАЛОГА МОГ СДЕЛАТЬ РАЗЛИЧНУЮ ГРУППОВУЮ ОШИБКУ В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ ЗВЕЗДНОГО НЕБА. Причиной тому могли служить, например, перенастройка приборов, смена места наблюдения и т.п.

В главе 2 были обнаружены семь частей звездного атласа Альмагеста, которые выделяются на звездном небе естественным образом и различаются своими "надежностными"характеристиками в Альмагесте, рис.2.2. В главе 6 мы увидим, что эти же части неба в Альмагесте вообще говоря различаются также и значениями групповых ошибок и точностными характеристиками.

Обнаружение систематической ошибки в каталоге Альмагеста. После ее компенсации выясняется, что заявленная точность каталога подтверждается

Истинный момент t_A составления каталога нам неизвестен. Поэтому ДЛЯ КАЖДОГО момента t, считая его предполагаемым моментом датировки, найдем значения параметров (t) и (t). Метод нахождения представляет собой комбинацию метода наименьших квадратов и задачи регрессии на сфере. Его точностные свойства обсуждаются в главе 5.

Результаты вычислений можно представить в виде графиков _stat(t) и _stat(t), рис.3.15. Эти графики были получены после обработки координат звезд Альмагеста из больших частей неба. Индекс "stat"указывает на то, что соответствующие величины получены СТАТИСТИЧЕСКИМ путем. Они представляют собой оценки параметров ошибки в положении звезд Альмагеста, которая оказалась единой для нескольких больших областей звездного неба. Оценки были получены в предположении, что каталог был составлен в эпоху t и поэтому являются функциями t. Будем называть эту ошибку и ее составляющие, - параметры (t) и (t), - СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ОШИБКАМИ.


Как эти ошибки связаны с групповыми? Если рассматриваемая большая область неба состоит из ряда созвездий, то найденные статистическим методом систематические ошибки представляют собой усредненные значения групповых ошибок, сделанных в отдельных созвездиях. При этом ЛИШЬ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ ГРУППОВЫЕ ОШИБКИ РАВНЫ ДРУГ ДРУГУ, ОНИ СОВПАДАЮТ И С СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ.

Только в этом случае мы не будем различать термины ГРУППОВАЯ и СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ошибки.

Вокруг каждого значения _stat(t) и _stat(t) были построены доверительные интервалы I и I допустимых значений и . Поясним, что _stat, и _stat являются лишь точечными СТАТИСТИЧЕСКИМИ ОЦЕНКАМИ неизвестных параметров. Неизвестные параметры определяют сделанную составителем каталога систематическую ошибку. Но значения их оценок, естественно, не равняются в точности значениям самих неизвестных параметоров. Построение доверительных интервалов вокруг найденных точечных оценок _stat и _stat позволяет с заданной степенью уверенности утверждать, что истинные значения параметров лежат в этих интервалах.

Способ построения доверительных интервалов изложен в главе 5, а конкретные результаты, относящиеся к Альмагесту, в главе 6.

Анализ ошибок проводился для всех найденных выше семи областей звездного неба Альмагеста. При этом были определены не только значения систематических ошибок для них, но и значения "остаточных"среднеквадратичных широтных невязок, получившихся после компенсации найденных условных систематических ошибок. В результате оказалось, что наиболее точно измеренными являются части A и ZodA. См. главу 6 и табл.2.3. В этих областях, кстати, лежит большинство именных звезд Альмагеста. Было найдено также, что ПОСЛЕ КОМПЕНСАЦИИ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ более половины звезд из части A получили остаточную широтную невязку не более 10^'. См. главу 6. Для части ZodA доля таких "хорошо измеренных"звезд оказалась еще больше - 63,7%. Таким образом, ЗАЯВЛЕННАЯ ТОЧНОСТЬ КАТАЛОГА В 10^' НАШЛА ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ДЛЯ ШИРОТ БОЛЬШИНСТВА ЗВЕЗД ИЗ ЗНАЧИТЕЛЬНОЙ ПО РАЗМЕРУ ЧАСТИ НЕБА.

Следующий вопрос, который тут возникает, - это природа найденных параметров _stat и _stat. Верно ли, что для всех звезд каталога, или хотя бы для звезд из области A, найденные величины _stat и _stat достаточно близки к реальными групповыми ошибками?

Ведь вполне возможен случай, что в каждом отдельном созвездии составителем каталога была совершена своя собственная групповая ошибка. Тогда найденные нами значения по сути дела получаются усреднением различных групповых ошибок. Результат такого усреднения может получиться ненулевым лишь из-за того, что число созвездий невелико.

Для ответа на этот вопрос мы рассмотрели ВСЕ ЗОДИАКАЛЬНЫЕ СОЗВЕЗДИЯ И "ОКРУЖЕНИЯ"БОЛЬШИНСТВА ИМЕННЫХ ЗВЕЗД. Вычисления показали, что величина _stat^ZodA, найденная для области неба ZodA, является единой для созвездий по крайней мере из области A. Иначе говоря, _stat^ZodA должна рассматриваться как систематическая составляющая, действующая на ВСЕ звезды из хорошо измеренной области неба A, содержащей к тому же большинство именных звезд.

Однако про величину _stat^ZodA такого утверждения сделать нельзя. Интересно, что данный вывод о природе составляющих _stat и _stat может служить аргументом в пользу того, что измерения координат звезд для каталога Альмагеста производились с помощью армиллярной сферы. Подробности см. в главе 6.

После компенсации обнаруженной систематической ошибки в каталоге, появляется возможность датировать его

>Компенсация найденной систематической ошибки позволила уменьшить погрешность широт в области ZodA Альмагеста с 17, 7^' до 12, 8^'. В результате, появилась возможность датировки каталога.

Мы уже отметили, что ЗАЯВЛЕННАЯ ТОЧНОСТЬ АЛЬМАГЕСТА В 10 МИНУТ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ДОСТИГАЕТСЯ НА ЗНАЧИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ЗВЕЗД КАТАЛОГА. Возникает вопрос. Есть ли такие звезды, на которых заявленная точность Альмагеста должна достигаться ГАРАНТИРОВАНО?

Известно, что при измерении координат звезд наблюдатель всегда использует систему опорных точек-звезд на небе. См., например, [66]. Такой способ измерений естественен и использовался всеми средневековыми астрономомами. Так, например, Тихо Браге в своих измерениях базировался на 21 опорной звезде [73]. Современная система опорных точек на небе состоит из нескольких тысяч звезд. Они собраны в так называемых фундаментальных каталогах. См., например, каталог FK4 [80]. В Альмагесте содержится указание на то, что в число опорных звезд должны входить Регул и Спика. Измерению координат этих звезд посвящены ОСОБЫЕ разделы Альмагеста.

Выдвинем следующий постулат. ЕСЛИ ЗАЯВЛЕННАЯ ТОЧНОСТЬ КАТАЛОГА ПОДТВЕРЖДЕНА, ТО ОНА ДОЛЖНА ГАРАНТИРОВАННО ДОСТИГАТЬСЯ НА МНОЖЕСТВЕ ОПОРНЫХ ЗВЕЗД ДАННОГО КАТАЛОГА.

Какие же звезды должны были непременно входить в число опорных звезд Альмагеста? В качестве таких звезд естественно взять совокупность ИМЕННЫХ ЗВЕЗД Альмагеста. То есть, снабженных собственными именами в тексте его каталога. Таких звезд немного - всего ДВЕНАДЦАТЬ. Они действительно образуют очень удобный базис в видимой части неба. Вот их полный список: Арктур, Регул, Спика, Превиндемиатрикс, Капелла, Лира = Вега, Процион, Сириус, Антарес, Аквила = Альтаир, Аселли, Канопус.

Все эти звезды - яркие, легко заметные в своих окружениях. И что особенно важно для целей датировки, - некоторые из них обладает довольно большой скоростью собственного движения, например, Арктур, Процион, Сириус. Ряд других тоже заметно перемещается на звездной сфере - Регул, Капелла, Антарес, Аквила = Альтаир.

Однако из указанных двенадцати звезд две - Канопус и Превиндемиатрикс - пришлось сразу же исключить из рассмотрения. Дело в том, что на птолемеевские координаты Канопуса большое влияние оказала рефракция. В результате в эти координаты вошли огромные ошибки и со статистической точки зрения они являются "выбросом". Что касается Превиндемиатрикса, к сожалению, исходные птолемеевские координаты этой звезды утеряны. Сегодня они просто неизвестны. См. об этом главу 2.

Еще две звезды - Сириус и Аквила (Альтаир) - были исключены по причине того, что систематическая ошибка для них, как показал наш анализ, ОТЛИЧНА от ошибки для остальных звезд. Причем значения систематической ошибки для этих двух звезд не могут быть определены.

Таким образом, датировку каталога Альмагеста мы получили на основе рассмотрения 8 оставшихся именных звезд. Вот их список:

АРКТУР (Arcturus, 16 Boo), номер Байли в Альмагесте 110;

РЕГУЛ (Regulus, 32 Leo), номер Байли в Альмагесте 469;

СПИКА (Spica, 67 Vir), номер Байли в Альмагесте 510;

КАПЕЛЛА (Capella, 13 Aur), номер Байли в Альмагесте 222;

ЛИРА = ВЕГА (Lyra, 3 Lyr), номер Байли в Альмагесте 149;

ПРОЦИОН (Procyon, 10 CMi), номер Байли в Альмагесте 848;

АНТАРЕС (Antares, 21 Sco), номер Байли в Альмагесте 553;

АСЕЛЛИ (Acelli, 43 Cnc), номер Байли в Альмагесте 452.

1.6.4 Датировка каталога Альмагеста по движению его восьми базисных, именных звезд, после устранения статистически найденной ошибки каталога

Выдвинутая гипотеза имеет своим следствием то утверждение, что В ИСКОМУЮ ЭПОХУ t_A СОСТАВЛЕНИЯ КАТАЛОГА ВСЕ РАССМАТРИВАЕМЫЕ ВОСЕМЬ ИМЕННЫХ, БАЗИСНЫХ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ШИРОТНУЮ НЕВЯЗКУ НЕ БОЛЕЕ 10^'.

С другой стороны, мы знаем, что в эпоху t_A составляющая систематической погрешности каталога должна лежать в доверительном интервале I, построенном вокруг статистической оценки _stat(t_A). Отсюда получается естественный способ датировки.

Рассмотрим при фиксированном t и при фиксированном уровне доверия доверительный интервал I вокруг _stat(t), и выделим в нем такое подмножество S_t, что при S_t компенсация данной составляющей систематической ошибки сделает широтные невязки всех восьми базисных, именных звезд меньшими 10^'. То есть, меньше цены деления координатной шкалы каталога Альмагеста, рис.3.16.

Используемые в статистической процедуре доверительные интервалы содержали в себе некоторый субъективно выбираемый параметр. А именно, уровень доверия - та малая вероятность, которой мы готовы поступиться при статистических выводах. Поэтому, вообще говоря, можно обсуждать вопрос о зависимости интервала датировки от выбранного уровня доверия. Наш вывод о том, что групповая ошибка для 8 именных звезд равна систематической ошибке для области ZodA, также имеет статистический характер и, следовательно, может быть неверным. Поэтому возникает вопрос. Насколько может расшириться найденный интервал, если доверительные области неограниченно расширяются?

Мы дадим "геометрический"ответ на этот вопрос. Вновь фиксируем момент времени t в качестве "претендента"на искомый момент датировки. Найдем множество D_t таких значений , что при повороте реальной эклиптики эпохи t на этот угол, широтная невязка всех 8 именных звезд попадет под 10-минутный уровень, рис.3.17. Ясно, что D_t S_t при всех t. Следовательно, мы найдем вообще ВСЕ возможные значения t, при которых после некоторого подходящего вращения эклиптики широты ВСЕХ 8 именных звезд отличаются от соответствующих широт звезд в Альмагесте не более, чем на 10^'.

ОЧЕНЬ ВАЖЕН ТОТ ФАКТ, ЧТО ПОЛУЧИВШИЙСЯ "МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ"ИНТЕРВАЛ ДАТИРОВКИ ОКАЗАЛСЯ НЕ БОЛЬШЕ ИНТЕРВАЛА, НАЙДЕННОГО СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ, СОВПАЛ С НИМ. См. детали ниже, в главе 7.
В главе 7 мы покажем также, что предлагаемый метод датировки обладает УСТОЙЧИВОСТЬЮ относительно изменения исходных гипотез. Доказана устойчивость относительно вариации уровня заявленной точности каталога, относительно сокращения или наоборот - расширения датирующего состава опорных звезд, а также относительно нелинейных искажений измерительных приборов. См. главу 7. Работоспособность нашего метода проверялась и на искусственно составленных звездных каталогах, полученных в результате моделирования случайных ошибок в наблюдении звездных координат. Заложенные при моделировании "даты наблюдений"искусственных каталогов во всех случаях согласовывались с результатом датировки по нашему методу.

Кроме того, наш метод был успешно проверен на ряде известных старых каталогов. С его помощью были датированы звездные каталоги Улуг-бека, аль-Суфи, Тихо Браге, Гевелия. Во всех случаях традиционно известные датировки исследованных нами старых звездных каталогов, - за исключением только каталога Альмагеста - были подтверждены нашим методом. Подробности см. в главе 9.

В заключение этой главы приведем титульный лист издания Альмагеста якобы 1551 года, рис.3.18. ( Титульный лист Альмагеста издания якобы 1551 года. Интересно отметить РУКОПИСНУЮ дату "Anno 1551". Скорее всего, она была проставлена задним). Обратите внимание, что дата на нем ВПИСАНА ОТ РУКИ. Не исключено, что эта дата была вписана только в XVII или даже в XVIII веке.